浅谈圆的切线的证明.doc

浅谈圆的切线证明
惠阳第一中学 刘翠玲
在《圆》这章书中圆的切线的证明是重点也是难点，突破该知识点就是突破本章书的考点。近几年各省市的中考题中与圆的切线的证明的题目类型繁多，但万变不离其中，方法掌握了题型在变也不怕。
以下我就圆的切线的证明的方法做一下讨论
证明圆的切线的方法有三种：
定义法：直线与圆只有一个公共点，则这条直线和圆相切
距离法：直线到圆心的距离等于半径时直线与圆相切
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。
通常方法一和方法二学生都易于掌握，而方法三变化较多，学生布置从何下手。而利用切线判定定理证明圆的切线分两种情况：
直线与圆有一个已知的公共点，方法“连半径，证垂直”
当直线与圆有一个已知的公共点时，下手点是把圆心与该公共点连接起来，再证明直线与该半径垂直。而证明直线与该半径垂直是关键，也可以分两种情况进行分析:
题目中有直角条件。如直径所对的圆周角为90°，已知另一条直线与该圆相切，两条直线互相垂直等隐含直角的条件。则可以通过证明三角形全等、两直线平行，同位角相等等方法，证明直线与该半径的夹角为90°。
例1：（2013年广东省）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证:BE是⊙O的切线。
其中（3）的证明：连接OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO（SSS）。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC。
∴OB∥ED。
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线。
点评：本题已知直线与圆有一公共点，故连接OB，证明OB⊥BE。而本题的突破口是利用结论逆推OB∥ED，则∠DBO=∠BDC，再利用角的转化证明相等。这种利用结论逆推条件是我们易以解决题目常用的方法。
例2、如图在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,以B为切点的切线交OD的延长线于F
求证:EF与⊙O相切
证明：连接OE、AD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90° 即 AD⊥BC
∵AB=AC
∴∠BAD∠CAD
∴=
∴∠BOD=∠DOE
∵OB=OE,OF=OF
∴△OBF≌△OEF
∴∠OBF=∠OEF
∵BF切⊙O于点B
∴DM与⊙O相切
∴∠OBF=90°
∴∠OEF=90° 即OE⊥EF
∴EF与⊙O相切
点评：本题已知直线与圆有一公共点，故连接OE,证明OE⊥EF。因为本题中已知另一条直线与该圆相切，则必有直角的条件。从结论逆推△OBF≌△OEF，故设法证这两三角形全等是关键。
题目中不含有直角的条件，则利用特殊角或构造直角证明。如两角相等且两角和为180，作直径等
例3：如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，PA=PD
求证：PA与⊙O相切
证明：连接AO并延长AO交⊙O于点E，连接CE
则AE为⊙O的直径
∴∠CAE=90°
∴∠E+∠EAC =90°
∵