高考数学中的内切球和外接球问题附习题.docx

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高考数学中的内切球和外接球问题附习题
高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. ，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ ..
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为______________..
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为 ..
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
C.

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径..
小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________..
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
故其外接球的表面积.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，，则有.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即
练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为
例 6一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
A. (如图2)
例7）在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）.
A. B. C. D.
解析：（如图3） 因为，，所以
，即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.
图3

例8 （2已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，.（如图4）
图4
2、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是 .
解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）
图5
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D..选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一