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学案 77 不等式选讲
(二)证明不等式的基本方法

导学目标：：比较法、综合法、分析法、反证法、.
会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式．

自主梳理
1 ． 三 个 正 数 的 算 术 — 几何平均不等式： 如果 a ， b ， c>0 ， 那么
_________________________，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立．
2．基本不等式(基本不等式的推广)：对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不
a ＋a ＋…＋a n
小于它们的几何平均，即 1 2 n≥ a ·a ·…·a ，当且仅当__________________时等
n 1 2 n
号成立．
3．二维形式的柯西不等式及推论：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac
＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时等号成立； a2＋b2 c2＋d2≥|ac＋bd|，当且仅当 ad＝bc 时等号
成立； a2＋b2 c2＋d2≥|ac|＋|bd|，当且仅当________________时等号成立．
4．证明不等式的常用五种方法
(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其
基本思想是______与 0 比较大小或______与 1 比较大小．
(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推
理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．
(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件
为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证
的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．
(4)反证法
①反证法的定义
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性
质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛
盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．
②反证法的特点
先假设原命