数值分析矩阵特征值特征向量计算PPT学习教案.pptx

会计学
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数值分析矩阵特征值特征向量计算
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本章内容
特征值基本性质
幂法与反幂法
正交变换与矩阵分解
QR 方法
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本讲内容
特征值基本性质
幂法
幂法的加速
反幂法
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特征值性质
A x =  x
(   C, x  0 )
性质
(1)
特征值与特征向量
(2)
(3)
(4) 若 A 对称，则存在正交矩阵 Q，使得
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圆盘定理
定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设  是 A 的特征值，则
i=1, 2, ... , n
设 A=(aij)Rnn ，记
Gerschgorin 圆盘
若有 m 个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含 m 个特征值。
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Rayleigh 商
定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为
则对任意非零向量 x，有
且
称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。
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(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0)  0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
幂法
计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量
假设：(1) |1| > |2|  …  |n|  0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
计算过程：
幂法（乘幂法，幂迭代）
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幂法的收敛性
收敛性分析
设
越小，收敛越快
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幂法的收敛性
当 k 充分大时，有
又
( j =1, 2, ... , n )
vk 为 1 的近似特征向量
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幂法的收敛性
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
则由幂法生成的向量满足
注：幂法的收敛速度取决于 的大小
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