高中数学二项式定理.docx

二项式定理
, a、一 1、5
(x —)(2x )
【2011新课标全国理，8】 x X的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常
数项为().
A . — 40 B . — 20 C . 20 D .40
t解析】解法一m令，=1得，解嚼口:L第2个因式的通项公式为
“ 6(四41一与=d—iy 乂户v*， 小二' 6 羲
X
I 产 1/ 8
当第1个因式取》第2因式展开式取士，即5-方=-1,解得『名
x
当第1个因式取」，第2因式展开式取「即5-2叩1,解得产田 x
「•常数项为武(一。隈炉-，QC-l)3^!5-2^ 故选D.
解法二：用组合提取法，把原式看敞b个因式相乘，若第，个括号提出名从余下的5个括号
中选2个提出与选*个提图L若第1个括号提出L从余下的括号中选z个提出L
X X // X
选9个提出工 故常数项为蚊直2寸穹(―41 W(r WQ尤y =-40+80= 40_
【最新考纲解读】
二项式定理
(1)能用计数原理证明二项式定理.
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【回归课本整合】

(a b)n Cnan C1an 1b L Cnan rbr L Cn1bn ,其中组合数 C：叫做第 r+1项的二
项式系数；展开式共有 n+1项.
注意：(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1
时，系数就是二项式系数。如在 (ax b)n的展开式中，第r + 1项的二项式系数为 C；,第
1
『+ 1项的系数为而（m+士广的展开式中的系版就是二项式系数r 0）当口的 X
数值不大时往往借助杨辉三角直接写出■§■项的二项式系数；C3）审题时要注意区分所求的是 项还是第几项？求的是系数还是二项式系数二（4）：特例；
。斗 4=1TC*4 …，—Td・ 产 N 学
2二腹式更理的通腹 铲岁 丁丁 净
二项展开式中第川项取工= CMZ/T=QL2…内）称为二班展开式的通项I二项展
开式通喷的主要用途是求指定的丽,主要用于求常薮项、有理项和系数最大的攻：求常款项, 有理吨和指数最大的现时，要根据通项公式讨论对，的限制।求有理项时要注意到指数及项
数的整数性.
注意:⑴通项公式是表示第卅+1项，而不是第产项.⑵展开式中第产* 4马第尸十1项的柔数不同.⑶，只要知道其中的四 个元素，，常常遇芸已知这五个元素中 ，这类问题TS是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或 方程组）.这里必乡姐意内是正整乱，是非负礴且产
m n m
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ Cn Cn ）.
（2）增温性与最大值,
当，£上1时，二项式系数C：的值逐渐噜大，当F之四时工：的值逐新施小，且在中间取 2 2
。为偶数时，中间一项（第。十1项）的二项式系数C：
2 / J
„J_1 „_L］ +1 H+l
时，中间两项（第塔和空A十1项）的二项式系数c7=c7相等并同时取最大值.
（3）各二嗫式系数和：
■/（1 +工）再=1#C*4…了令x = l ，则
一般地m当㈤很小时,
2" =或十优十W+…七C：+…+C：］
（4）用二项式定理进行近［认运篁，关曜是恰当地舍取不影响精度的正,
【方法技巧提炼】
答案氏
L如何把握转ft英位二皿式第陶
二项式定理作为一个重要的知识点， 他和扩展是一个重点了富多彩的结构犹如方乱花吸迷住了不少同学的“眼”加何把握？
fl)二项式展开式精构;根据给出的结构特征，通过拼清使其满足二项式定理展开式的恃 点，器后合并，，从而达?!1化简作用.
例1设2瓦切为整数若口和方被用除得的余数相同，则称口和办对模组同余.
记为口 = 乂mod 制). 已知应—1+C^++C^JE23 -f —H 若二* 户甯三网mod 10)，
则方的值可以是Q )


上整虱筝 S,2011
答案：B.
解析：B = L+ +C^2+C* 2a-4Cg2B
则 2o = 4r"+©］产-21+-<^2“+1=（；1 + 4”+1 = 3必+1
__（io-L）1:1+i _ ［嗫 10心十。：口/（一1）1 十…aua（-D〕+4402 ..0 = -=
则♦被10整除的余数为L因为而皿，则匕被10整除的余数为
【点评】此类结构需要回归为