内切球和外接球例题.docx

高考数学中的内切球和外接球问题
一、直接法（公式法）
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
. 27 .
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为
24,则该球的体积为. 4^3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个
顶点上的三条长分别为 l2,3 ,则此球的表面积为 ——14 .
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体
积为16,则这个球的表面积为（ ）.C.
A. 16 B. 20 C. 24 D. 32

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的
9
顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 ,底面周长为3 ,则这个球的体
积为一
解 设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则有
6x 3, 1
_ x _ ,
9 R , 3 2 2_ 1
6 x h, r
8 4 h "3.，正六棱柱的底面圆的半径 2,球心到底面的
“ 3 4
d 丁 c r~2~~2 / V 球—
距离 2 . .•・外接球的半径R vr d 1. 3 .
二、构造法（补形法）
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
J3 ,则其外接球的表面积是 . 9
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，，把这个三棱锥可以补成
一个棱长为 上的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 .设其外接球
2 - 2 2 - 2 2 9
「 2R .3 3 3 9 R
的半径为R ,则有 ..•. 4 .故其外接球
2
的表面积S 4 R 9 .
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体对角线的长
2 2 2
就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 R,则有2R 4a b c .
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【例题】：在四面体 融0。中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
1'"尼―，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球
的直径为 融的长即：4炉4衣、『+九宕=16
所以& = 2球的表面积为3 = 4/='5
例6. 一个四面体的所有棱长都为 J2,四个顶点在同一球面上， 则此球的表 面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半
，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，
所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体 A BDE满足条件，
即AB=AD=AE=BD=DE BE 22 ,由此可求得正方体的棱长为 1,体对角
线为J3,从而外接球的直径也为 J3,所以此球的表面积便可求得，故选 A.
，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E