八年级数学学案-图形的平移及旋转知识点+考点.doc

第三讲：图形的平移与旋转
【知识精讲】
知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系
（1）区别。
①三者概念的区别：在平面，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面，将一个图形沿着某条直线折叠。如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。
②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。
③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。
④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。
（2）联系。
①它们都在平面进行图形变换
②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。
③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。
知识点2 组合图案的形成
（1）确定图案中的“基本图案”。
（2）发现该图案各组成部分之间的在联系。
（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。
要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。
运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。
整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。
知识点3 利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题
在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。
移动图形一般有三种方法：
（1）平移法。
（2）旋转法：利用旋转变换。
（3）对称：可利用中心对称和轴对称。
知识点4 欣赏现实生活中的一些精美图案
通过欣赏现实生活中的一些精美图案，引起学生的兴趣。
通过分析它们的形成过程，为今后进行图案设计提供素材。
知识点5 图案设计的步骤
1、整体构思
（1）图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致，具有一定的意义，例如，奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五的人民热爱体育运动，携手共创美好的未来。
（2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案”（不宜太复杂）。
（3）构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成。再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。
2、具体作图
根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案。有条件的同学可用几何画板画出满意的图案。
【典型例题】
例1. 如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。
分析：假设桥为MN，从A→B要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AM＋NB最小即可。
例2. 在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的大小关系。
分析：四条线段AB、AC、AD、AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。
证明：将△AEC沿EB的方向平移到△FBD位置
∴FB＝AE，FD＝AC
设FD与AB的交点为O
在△AOD中，AO＋OD＞AD
在△FOB中，FO＋OB＞FB
例3. 已知：AB＝CD＝1，AB与CD交于O点，∠DOB＝60°，比较AC＋BD与1的大小。
分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。
解：
证明：过C作CE∥AB，过B作BE∥AC，连结DE
∴四边形ABEC为平行四边形
∴AC＝BE，AB＝CE
∵∠DOB＝60°，AB∥CE
∴∠DCE＝60°
∵AB＝CD＝1
∴CE＝CD＝1
∴△DCE为等边三角形