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求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1已知数列｛an｝满足an 1 2an 3 2n , ai 2,求数列⑸｝的通项公式。
解：an i 2an 3 2n两边除以2n 1,得第 与 3，则第 3 3 ,故数列｛与是以粤 C 1
2 2 2 2 2 2 2 21 2
3a 3
为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 曳 1 (n 1)3,所以数列｛an｝的通项公
2 2n 2
式为 an (3n 1)2n。
2 2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
an1 2an 3 2n转化为* 之 3 ,说明数列｛当是等差数
2 2 2 2
列，再直接利用等差数列的通项公式求出
a 1 (n
1)3,进而求出数列｛an｝的通项公式。
2
、利用an
S1(n 1)
Sn Sn 1(n 2)
例2 .若Sn和Tn分别表示数列｛an｝和｛bn｝的前n项和，对任意正整数an
2(n 1), Tn 3Sn
｛bn｝的通项公式;
解：Qan 2(n 1)
2
a1 4 d 2 Sn n 3n Tn 3Sn 4n 3n2 5n ……2 分当
n 1 时,“5 3 5 8 当 n 2时,bn Tn Tn 1 6n 2
bn 6n 2.……4分
练习： 项an
｛a n｝,其前n项和Sn满足
10S=an2+5an+6且a1,a 3,a 15成等比数列，求数歹U
{a n}的通
2 …
解：,•-10Sn=an +5an+6, ①
2
• -10 a1=a1 +5a1 +6,国牛^X寸 a1=2 a1=3
又 10N 尸an—12+5an—1+6g2),②
由①一②得 10 an = ( ch — an- 1 ) + 6( an— an- 1) , 即(an+an- 1)( an— an- 1 - 5)=0 an+an- 1 >0 ) . . an— an-1=5 ( n > 2) E
当 a1=3 时，a3=13, a15=73 a, a3, a15不成等比数列，2产3;
2
当 a『2 时， a3=12, a15=72, 有 a3 =ai a15 , .. a-2, • ' an=5n — 3
4 1n 1 2
2. (2006年全国卷I)设数列 an的前n项的和Sn -an — 2 一,
3 3 3
2n
(i)求首项a1与通项 烝；(n)设Tn 一，n 1,2,3,ggg,证明：
Sn
n 1,2,3,gog
n
Ti
a1
解：⑴
4
一a1
3
4
3an
12n 2 2n 3
n 1 n
an 1 2 4 an 2
a 9n
所以数列an 2是公比为4的等比数列，所以:
an
2n
ai
21
4n1
得：an 4n 2n (其中n为正整数)
(II )
Sn
Tn
2n
2n
Sn
2n 1 1
2n 1
1
2n 1
2n 1 1
n
Ti
所以:
21 1
1
2n 1 1
、累加法
1 ,求数列｛an｝的通项公式。
例3已知数列｛an｝满足an 1 an 2n 1, a1
解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则
an (an an 1) (an 1 an 2) L (a3 a2) (a2 a1) a1
[2( n 1) 1] [2( n 2) 1] L (2 2 1) (2 1 1) 1
2[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1
2 (n-1^n (n 1) 1 (n 1)(n 1) 1 n2 2
所以数列｛an｝的通项公式为an n2。
进而求出
评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2n 1转化为an1 an 2n 1 ,
(an an 1) (an 1 an 2) L (a3 a2) (a2 a1) a1 ,即得数列｛an｝的通项公式。
an 2 3n 1 贝U
例4已知数列｛an｝满足an 1 an 2 3n 1, a1 3,求数列｛an｝的通项公式。
解：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1
an ( an an 1) (an 1 an 2) L
(a3 a2)
(a2 a1) a1
(2 3n 1 1) (2 3n 2 1) L
n 1 n 2 2 1. .
2(3 3 L 3 3 ) (n
3n 3 n 1 3 3n n 1
(