完整第38周 应用同余问题.doc

第三十八周 应用同余问题
专题简析：
同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：
两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，那么称a，b对于模m同余。记作：a≡b〔mod　ｍ〕。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47〔mod　5〕。
同余的性质比较多，主要有以下一些：
性质〔1〕：对于同一个出书，两个数之和〔或差〕与它们的余数之和〔或差〕同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19〞除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19〞与它们的余数和“2+4〞同余，用符号表示就是：32≡2〔mod　5〕，19≡4〔mod　5〕，32+19≡2+4≡1〔mod　5〕
性质〔2〕：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质〔3〕：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质〔4〕：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
例题1：
求1992×59除以7的余数。
应用同余性质〔2〕可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3〞除以7的余数与“1992×59〞除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3〞除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5〔mod 7〕
所以1992×59除以7的余数是5。
练习1：
1、求4217×364除以6的余数。
2、求1339655×12除以13的余数。
3、求879×4376×5283除以11的余数。
例题2：
已经知道2001年的国庆节是星期一，求年的国庆节是星期几？
一星期有7天，要求年的国庆节是星期几，就要求从2001年到年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。
2001年年，即有“366×2+365×7〞天。因为366×2≡2×2≡4〔mod 7〕，365×7≡1×7≡0〔mod 7〕，366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4〔mod 7〕
答：年的国庆节是星期五。
练习2：
1、已经知道2002年元旦是星期二。求年元旦是星期几？
2、已经知道2002年的“七月一日〞是星期一。求年的“十月一日〞是星期几？
3、今天是星期四，再过365的15次方是星期几？
例题3：
求2001的2003次方除以13的余数。
2001除以13余12，即2001≡12〔mod 13〕。根据同余性质〔4〕，可知2001的2003次方≡12的2003次方〔mod 13〕，但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与