§3 泰勒级数 罗朗级数.doc.doc

31 幂级数的基本性质小结 1. 对于幂级数 0 ( ) kkk a z b ????, 必然存在一个以展开中心 b 为圆心的圆, 在圆内级数收敛, 而在圆外级数发散。这个圆称为该幂级数的收敛圆, 圆的半径 R 称为收敛半径。( 在收敛圆周 z b R ? ?上各点幂级数是否收敛, 则需要具体情况具体分析。) 收敛半径(比值判别法和根值判别法): 1 lim 1 lim kkkkkkaaRa ?????????????, 2. 幂级数在其收敛圆内一致收敛: 幂级数 0 ( ) kkk a z b ????在以 b 为圆心、任何一个略小于收敛圆的闭圆| | z b ?? ?(?略小于收敛圆的半径 R )内一致收敛。 3. 幂级数的和函数在其收敛圆内是一解析函数: 幂级数?? 00 kkk a z z ????的和函数???? 00 ( ) kkk f z a z z ??? ??在其收敛圆内解析。因此幂级数在其收敛圆内可以逐项求导至任意阶,同时不改变收敛半径。幂级数的系数 na 与其和函数?? f z 的n 阶导数之间有如下关系: ???? 0! nn f z an ? 32 § 3. 复变函数的泰勒展开【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》 P 50-55 】(一) 泰勒定理: 设函数?? f z 在以 0z 为圆心、 R 为半径的圆内解析,则对于圆内任一点 z ,函数 f(z) 能展开成以 0z 为中心的幂级数: ???? 00 kkk f z a z z ??? ??, ???? 0! kk f z ak ??? 0,1, 2, 3, k??,且展开式为唯一的。证明: 设z 为圆 0 z z R ? ?内的任意一点,作一个圆周(如图) 'Rc : 0' z R R ?? ??,使 z 点含于'Rc 内, 并且?? f z 在圆周'Rc 上解析。由柯西积分公式得: ????'12 Rcf f z d i z ??? ????????????? 001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 kkk k k z z z z z z z z z z z z z zz ? ? ?????? ??? ??? ??? ????? ??? ???????? ???? ?【注意: 0001' z z z z z R ???? ??】???????? 101 001 [ ] 2 Rkkckf f z z z d iz ???????? ? ????? 33 而???????? 10101 2 ! Rkkc f f z d i k z ?????????( 推广的柯西积分公式) ???? 00 kkk f z a z z ??? ????? 0 z z R ? ?, 其中???? 0! kk f z ak ??? 0,1, 2, k??。唯一性:设另有???? 00 kkk f z a z z ???? ??,?? 0 z z R ? ?两边对 z 求k 阶导数: ???? 0! k k k f z a a k ?? ??? 0,1, 2, k??。(二) 将解析函数展开成泰勒级数的方法 1 .直接计算展开系数: ???? 0! kk f z ak ? 2 .泰勒级数的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求泰勒展开系数,而不一定要用???? 0! kk f z ak ?来求。例如利用初等函数的泰勒级数展开(特别是 11z?, ze ,三角函数等的泰勒级数展开):???????? 20 2 3 0 2 1 3 5 02 2 4 0