初二下期末几何压轴题及解析.doc

初二下期末几何及解析
1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．
（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_____________；
（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．
难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。）
解 （1）EB=FD 。（2）EB=FD。
证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD
即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD
（3）解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60°
∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）°
∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF
=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°
2、已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，
连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．
简单题
证明：（1）如图1．图1
在△ABE和△FCE中，∠1=∠2， ∠3=∠4，BE=CE，
∴△ABE≌△FCE．
（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．
∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．
∵AF=AD，∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形．
3、已知：△ABC是一等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1．
（1）要在这纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．
图4
图3
图2
图1
（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为，则=___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），
图2
得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为，则=___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为；按照同样的方法继续操作下去……，第次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和=______________．
（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。）
本题相当于中考12题的简单题
解：（1）如图2； -------------1分
（2），，，． ----------6分
4、已知：如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在轴的正半轴上运动，顶点D在轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．
（1）当OA=OD时，点D的坐标为______________，
∠POA=__________°；
（2）当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA；
（3）设点P到y轴的距离为，则在点A，D运动的
过程中，的取值围是________________．
（第二问：如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OA＞OD时，求证：OP平分∠DOA；）
解：（1）()，；
图3
证明：（2）过点P作PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N．（如图3）
∵四边形ABCD是正方形， ∴PD=PA，∠DPA=90°．
∵PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N，
∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．
∵∠NOM=90°，∴四边形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM．
∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2．
在△DPN和△APM中， ∠PND =∠PMA，∠1=∠2，PD=PA，
∴△DPN≌△APM． ∴PN=PM． ∴OP平分∠DOA．
≤． -
5、已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的
顶点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3）．