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体检中的排队论
摘要
一个好的体检排队方案不仅可以提高体检中心的体检效率和仪器的使用率， 还可为体检者节约时间和费用。本文利用数学建模的方法，根据排队论知识建立 体检中心排队系统的数学模型，通过 MATLA歆件求解。
对于问题一、二
对一个新来的顾客要体检，他通过取票进队、排队等待、叫号服务等功能，
通过分析发现体检队的队长是随机的， 体检所等待的时间是随机的，服务台是否 忙碌也是随机的。本文我们主要研究队长的分布和等待时间的分布及忙碌期的分 布状况。最终以达到顾客可以最短时间通过所有体检， 即以最优化方案得到最接
近的方法。
我们采用排队规则中等待制的先到先服务方法求出队列的队长、等待时间、
服务窗口的忙碌状态，服务规则是先到先服务以泊松分布方法建模型。 最后问题 二引用一组数据通过极大似然法验证问题一结论的真实性。
1、平均排队等待的队长
Dn 1
Lq ） ^0
n -1 ! n - ：1
2、系统队长（或系统中平均顾客数）的均值
... . 、 ：i 一 、
Ls = Lq + L服=Lq + 乌= 2 P0 + Pi
n-1 ! n- ：1
,?n 1
LS = Lq ' L服=Lq ':1 = ' ；~2 P0 ：' 1
n-1 ! n - /
3、顾客在系统内平均等待时间
Lq
P0
对于问题三
分析可知：对于在服务窗口忙碌情况下，则团队人数 N与可服务窗口 n数 量是不确定，因此我们需要分为三种情况来讨论。
第一种情况：团队人数 <=服务窗口数并在排队规则等待制中的优先权服务 情况下。
第二种情况：团队人数 <=服务窗口数并在排队规则等待制中的先到先服务 的情况下。
第三种情况：团队人数 >服务窗口数并在排队规则等待制中的先到先服务情 况下。
关键字：排队论 泊松分布 负指数分布 极大似然法 最优化方案
一、 问题重述
某城市的体检中心每天有许多人前去体检， 全部体检项目包括：抽血、内科、 外科、B超、五官科、胸透、身高、体重、…等等。每个人的体检项目可能各不 相同，假设每个体检项目的服务时间是确定的， 并且只有1个医生值班，每次只 能为1个客户服务。为提高设备利用率、降低客人的等待时间，中心请你帮助完 成如下任务：
(1)为某个新来的客人安排他的体检顺序，使其完成需要的全部检查的时间 尽量少(在各个体检项目处都可能有人排队等待)；
(2)设计1组数据来验证上述结论。
(3)接待团体客人时，如何安排每个人的体检顺序，使得体检中心能尽快完 成任务，设计1组数据来验证该结论。
二、 问题分析
问题一
每个体检项目的服务时间是确定的，并且只有 1个医生值班，每次只能为1 个客户服务。经过分析发现顾客要体检，他通过取票进队、排队等待、叫号服务 等功能，对他而言体检的队长是随机的， 体检所等待的时间是随机的，服务台是 否忙碌也是随机的。本文我们主要研究队长的分布和等待时间的分布及忙碌期的 分布状况。最终尽可能使顾客可以最短时间通过所有体检， 即以最优化方案得到
最接近的方法，服务规则是先到先服务，以泊松分布方法建模型。
顾客到达体检中心排队流程示意图
图1排队模型框图
由排队论中M/M/1模型中假设顾客到达时间问隔从参数为 人的泊松分布， 顾客的服务时间为固定值t ,到达时间与服务时间是相互独立的，且有 n个服务
台，若顾客到达时服务窗全部处于忙的状态，则进行等待。

:n 1
Lq
- 1
-2 P0
n -1 ! n - ： 1
.平均忙着的服务窗个数
1服=p 1
.系统队长(或系统中平均顾客数)的均值
7n 1
Ls = Lq - L服=Lq . P1 二 2 Po . Pl
n -1 ! n- ：i
.顾客在系统内平均等待时间
Lq 71n
Wq 二二 1-2P0
un! n - P1
首先，我们用极大似然估计法来估计泊松分布中报还的未知参数。设总体 X 服从泊松分布
P X =k = —— e，k =0,1,2...
k!
得参数人的极大似然估计量为:
问题二
问题二是在问题一的基础上研究的，所以我们用一组数据通过极大似然法来 验证其是否正确。
因为每个体检项目中只有一个服务台并只为顾客服务， 故系统只有两种可能 的状态：0——服务台空闲；1——服务台正在为顾客服务
1
图2服务系统流程图
说明：
表示一个顾客进入体检时，服务系统就从状态“0”以变换到状态“ 1”。当 体检的一个项目完毕，顾客离开系统，系统从状态“ 1”以服务速率 以变到状态 “0”。把“输入=输出”看作系统的稳态，
即：
P0 =即1
又因为 P0