定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
证明
一、实对称矩阵特征值的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说
明，均指实对称矩阵．
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于是有
两式相减，得
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定理1的意义
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证明
于是
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二、实对称矩阵的相似理论
定理4 任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似。
它们的重数依次为
其中
证明：
设 的互不相等的特征值为
由定理3，对应于特征值
又由定理2及 知， 有 个线性无关的特征向量，
恰有 个线性无关的特征向量，
从而 与对角矩阵相似。
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定理5 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵
使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵。
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根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为：
将特征向量正交化;
3.
将特征向量单位化.
4.
2.
1.
三. 实对称矩阵对角化的方法
其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与
中列向量的排列顺序相对应.
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解
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，
使 为对角阵.
(1)第一步 求 的特征值
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解之得基础解系
解之得基础解系
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