高等数学课件D9_5含参积分-课件（PPT讲稿）.ppt

2017-2-13 重积分*第五节一、被积函数含参变量的积分二、积分限含参变量的积分机动目录上页下页返回结束含参变量的积分第九章 2017-2-13 重积分一、被积函数含参变量的积分],[],[),(????baRyxf是矩形域设上的连续函数, 则积分???yyxfd),( 确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作?????yyxfxd),()( x称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质定理 1.(连续性)],[],[),(????baRyxf在矩形域若上连续,则由①确定的含参积分在[a, b]上连续. —连续性, 可积性, 可微性: ①机动目录上页下页返回结束 2017-2-13 重积分证:),(yxf由于在闭区域 R上连续, 所以一致连续,即,0??任给,0??存在,),(,),( 2211yxyxR内任意两点对只要?????? 2121,yyxx 就有???),(),( 2211yxfyxf,0,??任给因此,0??存在,时当???x 就有)()(xxx????????????yyxfyxxfd )],(),([???????yyxfyxxfd),(),()(?????这说明.],[)(上连续在bax?机动目录上页下页返回结束 2017-2-13 重积分定理 1 表明, 定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的. ,],[ 0bax?即对任意????yyxf xxd),( lim 0?????yyxf xxd),( lim 0 同理可证, 上连在矩形域若],[],[),(????baRyxf 续, ?? baxyxfyd),()(?则含参变量的积分.],[上连续也在??机动目录上页下页返回结束由连续性定理易得下述可积性定理: 2017-2-13 重积分定理 2. (可积性)],[],[),(????baRyxf在矩形域若上连续,?????yyxfxd),()(则且上可积在,],[ba?? xyyxfxx ba badd),(d)(?????????? Dyxyxfdd),( 同样, ?? baxyxfyd),()(?且上可积在,],[???? yxyxfyy badd),(d)(???????????? Dyxyxfdd),( 推论: 在定理 2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序, 即????yyxfx bad),(d??? baxyxfyd),(d ??机动目录上页下页返回结束 2017-2-13 重积分定理 3. (可微性)),(),(yxfyxf x及其偏导数若都在,],[],[上连续矩形域????baR?????yyxfxd),()(则且上可微在,],[ba??????yyxfx xd),(d d)(????yyxf xd),( 证:令,d),()(????yyxfxg x上的连续是则],[)(baxg 函数, ,],[时故当 bax?? xaxxgd)(?? xyyxf x xadd),(??????? yxyxf xa xdd),(???????机动目录上页下页返回结束 2017-2-13 重积分?? yyafyxfd),(),(?????)()(ax????因上式左边的变上限积分可导, 因此右边, 可微)(x?且有)()(xgx?????? xaxxgd)(????yyxf xd),( 此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时, 求导与求积运算是可以交换顺序的. 机动目录上页下页返回结束 2017-2-13 重积分例1..)0(d ln 10baxx xxI ab?????求解:yx ba yd?由被积函数的特点想到积分:a b yx x??????? lnx xx ab ln ??yxxI ba ydd 10????xxy y badd 10??? yy x ba yd1 0 1 1??????????yy bad1 1???1 1 ln???a b )],[]1,0[(上连续在bax y?机动目录上页下页返回结束 2017-2-13 重积分例2..d1 )1 ln( 10 2xx xI????求解:考虑含参变量 )1 ln( )( 10 2xx xt????? t 显然, ,]1,0[]1,0[1 )1 ln( 2上连续在???x xt,)1(,0)0(I????由于xxtx xtd)1 )(1( )( 10 2???????? xxt tx tx xt d1111 1 2 10 22????????机动目录上页下页返回结束 2017-2-13 重积分??)1 ln( arctan )1 ln( 2 11 1 22xtxtxt ??????0 1??)1 ln( 4 2 ln2 11 1 2ttt ????