第五章定积分的几何应用.ppt

第六节 定积分的几何应用
引 从定积分的定义可知，？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？
第五章定积分的几何应用
一、微元法
微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件:
(1) Q 是与一个变量 x 的变化区间[a, b]有关的量;
(2) Q 对于区间 [ a , b ] 具有可加性, 也就是说, 如果把区间 [ a , b ] 分成许多部分区间, 则 Q 相应地分成许多部分量, 而 Q 等于所有部分量之和;
(3) Q = dQ ( x ) + o ( x ).
则整体量
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微元法或微元分析法遵循如下三个步骤:
第一步:分割 把区间[ a , b ]分为n个小区间（区间微元），f(x)为高，x为底的小矩形的面积f(x)dx=dA(面积微元) .
第二步: 求和 面积A的近似值为
第三步: 求极限 得面积的精确值A=lim
=
由上诉分析，我们抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量（总量），表示为定积分的方法——微元法。
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Ⅰ。求微元
写出典型小区间
上的局部量
的近似值
这就是局部量的微元
Ⅱ。求积分
即把微元
在区间 [ a , b ] 上
相当于把
作积分表达式
求它在 [ a , b ] 上的定积分
即
这就是微元法
“无限积累”起来
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一、平面图形的面积
1 直角坐标系
作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a , b ] 上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x )
及两条直线 x =a ,x =b 所围成
在 [a ,b ] 上任取典型小区间 [ x ,x+dx ]
与它相对应的小曲边梯形的面积为面积微元dA=f(x)dx
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dA 可用高为
底为 dx 的矩形面积
近似表示
即
故
a
b
当 dx 很小时
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例1 求由曲线 y = x 2 与 y = 2 – x 2 所围成的平面图形的面积.
解 解方程组
求得两抛物线的交点
为( – 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , 故所求平面图形 ( 如图5 – 10 )的面积为
(1, 1)
(-1, 1)
O
x
y
1
-1
y = x 2
y = 2 - x 2
x x+dx
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所围图形的面积
解
首先定出图形所在的范围
解得交点为（2，-2）和（8，4）
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量
则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂
如下图
例2 计算
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以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间
其上相应的窄条左、右曲边分别为
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上
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由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化
上述问题的一般情况是
平面区域由 [c,d] 上连续的曲线
及直线y = c ,y = d 所围成
则其面积为
c
d
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