高三数学专题复习：数学开放性问题.doc

高三数学专题复习：数学开放性问题
数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.
设等比数列的公比为 ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请 明理由.
解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数， 使数列 成等比数列.


(i) 当 时， 代入上式得
即=0
但, 于是不存在常数 ，使成等比数列.
(ii) 当 时，， 代 入 上 式 得
.
综 上 可 知 , 存 在 常 数 ，使成等比数列.
注意：等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形,可不要忽视
某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
解：（1）
=.
（2）解不等式 ＞0,
得 ＜x＜.
∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.
故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵　≤40
当且仅当时，即x=7时，等号成立.
∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii)　　y=－2x2+40x－98= －2（x－10）2 +102，
当x=10时，ymax=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.
已知函数f(x)= (x<－2)
(1)求f(x)的反函数f－1(x);
(2)设a1=1,=－f－1(an)(n∈N),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由.
解：(1) y=,
∵x<－2，∴x= －,
即y=f－1(x)= － (x>0).
(2) ∵ , ∴=4.
∴是公差为4的等差数列.
∵a1=1, ∴=+4(n－1)=4n－3.
∵an>0 , ∴an=.