排列组合用A还是C的技巧.docx

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排列组合用A还是C的技巧
排列组合用A还是C的技巧．
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）
A．120种 B．96种 C．78种 D．72种
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有P(4,4)=24 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54 种排法，由分类计数原理，排法共有78 种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。
例 2、 4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种
分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选2个有 C(4,2)种，从4个盒中选3个盒有 C(4,3)种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有P(3,3) 种，故所求放法有C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144 种。
二、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例3、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A． 24个 B。30个 C。40个 D。60个
[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有P(4,2)=12个，2）0不排在末尾时，则有C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18 个，由分数计数原理，共有偶数 30个，选B。
例4、 马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种
分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种数为C(4,3)=4 。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元