高中数学不等式知识点总结.docx

高中数学不等式知识点总结.docx选修4—5知识点
1、不等式的基本性质
（对称性）a>b<=>b>a
（传递性）a>b,b〉c=>a〉c
（可加性）a>b<=>a + c>b+c
（同向可加性）a>b、c>dna + c>b + d
（异向可减性）a>b、c<dna-c>b-d
（可积性）a > b c > ° a ac > be
a > b9 c < Q => ac < be
（同向正数町乘性）a>b>>d>O=>ac>bd
a b a>b><c<d=> —> — （异向正数可除性） c d
（平方法则）a >b>O=>aQ >bn（neN,_LLn>l）
（开方法则）a>b>O=>V»> >/b（n e N,Kn > 1）
t ell Jell a>b>0=>—<-;a<b<0=> — >-
⑧（倒数法则） a b a b
变形公式:
ab<
2、几个重要不等式
①a'+b? n2ab（a, bwR）（当且仅当a =b时取”=”号）
②（基本不等式）
a +b
2
（半fl仅当a =b时取到等号）
ab <
fa+bY
变形公式:
用基本不等式求故值时（积定和披小，和定枳故人），要注意满足三个条件“、 三相等”・
③（三个正数的算术一几何平均不等式）
（a. cg R*）
（当且仅当
a =b = c
时取到等号）.
q a，+b‘+c‘Xab+bc + ca （a, b eR）
（当且仅当a=b = c时取到等号）.
,-^aJ +b‘ +c‘ > 3abc（a > 0,b > 0,c > 0）
（当且仅当a=b = c时取到等号）.
若ab〉0,贝1』+三》2
a b （当仅当a=b时取等号）
若abv 0,贝IJ—+—< - 2 a b （当仅当a=b时取等号）
b b + m . a + n a
a a + m b + n b,（其中a>b>0, m>0, n>0）
规律：小于1同加则变人，大于1同加则变小.
賞、"|a >0lbft|x|>a >a2 <=> x<-a»kx> a;
|x| va Ox，va，O —a vxva・
⑨绝对值三角不等式同-冋却± b| < |a |+|b|・ 3、几个着名不等式
2 /— a+b la2 +b2
—i——<Vab < ——< J （ u _+
①平均不等式：a * b 2 Y 2 ，当且仅当a=b时取m = “
号）.
（即调和平均V几何平均二算术平均 <平方平均）.
变形公式：
ab <
<a24-b2
_ ~2-
a2+b2
［（a+b），
_ 2
帛平均不等式：
af + a/ +...+ aj 2 —（a【+ a、+ …+ a）, n
二维形式的三角不等式：
J* + y：+ J 材 + 卡 n Jgfy + Gi-y?）?（坷,％,冷,y? w R）.
二维形式的柯西不等式：
（a* +b"）（c" + d_） > （ac + bd）・（a,b,c,d e R）.当且仅当 ad =bc时,等号成立
三维形式的柯西不等式：
（曙 + a22 + a32）（bj2 + b22 +b32）> （a】％ + a2b2 + a3b3）2.
一般形式的柯