集合的概念与运算技巧.doc

集合的概念与运算技巧
集合的概念与运算技巧
　　　　　　　　　　　　编稿：林景飞　　　审稿：张扬　　责编：严春梅
命题趋向：
　　1．高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集，全面考查集合与简易逻辑的知识，题型新，分值稳定．一般占5--10分．
　　2．简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起注意．
规律方法指导：
　　1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、，并会用它们正确表示一些简单的集合．
　　2．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
　　3．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，
　　　如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.
经典例题精析：
类型一：正确理解和运用集合概念
　　理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
　　={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ 　　　）
　　A．（0，1），（1，2） 　　B．{（0，1），（1，2）} 　　C．{y|y=1,或y=2} 　 D．{y|y≥1}
　　思路点拨:
　　集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，
　　因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
　　解析：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
　　　　　∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．
　　总结升华：
y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
　　　　　　 A．P∩Q=　　　B．P Q 　　　C．P=Q 　　　 D．P Q
　　【答案】选A．P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．
　　【变式3】若，则=（ ）
　　　　　　 A．{3} 　　　　 B．{1} 　　　　C． 　　　D．{－1}
　　【答案】应选D．
类型二：集合元素的互异性
　　2. 已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值．
　　思路点拨: 要解决集合的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式。由A∪B=A，从而推出B有四种可能，进而求出
的值。
　　解析：∵ A∪B=A，∵ A={1，2}，
　　　　　 ∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．
　　　　　 若B=，则令△＜0得∈；
　　　　　 若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；
　　　　　 若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；
　　　　　 若B={1，2}，则令△＞0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
　　 　　　综上的值为2或3．
　　总结升华：
　　①本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
　　②集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败。
　　③解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正
　　举一反三：
　　【变式1】若A={2，4, },
　　　　　　　 B={1, , ,－, }，
　　　　　　 且A∩B={2，5}，则实数的值是________．
　　【答案】：∵A∩B={2，5}，∴,由此求得或．
　　　　　　　A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
　　　　　　　当时，，与元素的互异性相违背，故应舍去．
　　　　　　　当时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去．
　　　　　　　当时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
　　　　　　　故为所求．
　　【变式2】已知集合A
={,,}，B={,,}．若A=B，则的值是______．
　　【答案】分两种情况进行讨论．
　　　　　　（