中考数学二次函数动点问的题目-因动点产生地平行四边形的问的题目.doc

因动点产生的平行四边形问题
例1 2013年某某市松江区中考模拟第24题
如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕求tan∠ABO的值；
〔3〕过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，假如四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13松江24〞，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．
请打开超级画板文件名“13松江24〞，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．
思路点拨
1．第〔2〕题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．
2．第〔3〕题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．
总分为解答
〔1〕将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得，c＝1．
所以抛物线的解析式是．
〔2〕在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．
如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．在Rt△AOH中，OA＝1，，
所以． 图2
所以，．
在Rt△ABH中，．
〔3〕直线AB的解析式为．
设点M的坐标为，点N的坐标为，
那么．
当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．
解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．
因为x＝3在对称轴的右侧〔如图4〕，所以符合题意的点M的坐标为〔如图3〕．
图3 图4
考点伸展
第〔3〕题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．
由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得〔如图5〕．
所以符合题意的点M有4个：，，，．
图5
例2 2012年某某市中考第21题
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒〔t≥0〕．
〔1〕直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
〔2〕是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？假如存在，求出t的值；假如不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度〔匀速运动〕，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；〔3〕如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
图1 　 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12某某21〞，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．
请打开超级画板文件名“12某某21〞，拖动点Q向上运动，可以体验到， PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.
思路点拨
1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．
2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．
总分为解答
〔1〕QB＝8－2t，PD＝．
〔2〕如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． 图3
在Rt△APE中，，所以．　
当PQ//AB时，，即．解得．所以点Q的运