高等数学无穷级数PPT课件.pptx

一、常数项级数及其敛散性
1．常数项级数的概念
定义1 设给定一个数列 则表达式
（11．1）
称为常数项无穷级数，简称数项级数，记作 即
其中第n 项 称为一般项或通项．
第一节 常数项级数及其敛散性
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例如，级数 的一般项为
又如级数
的一般项为
简言之，数列的和式称为级数.
定义2 设级数的前项之和为

称Sn为级数的前项部分和．当依次取1，2，3，…时，
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新的数列
，…， ，…，
数列 称为级数 的部分和数列．若此数列的极限存在，即 (常数),则S 称为 的和，记作
此时称级数 收敛．
如果数列 没有极限，则称级数 发散，这时级数没有和．
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当级数收敛时，其部分和 是级数和S的近似值，称 为级数的余项，记作 ，即
．
例1 　判定级数
的敛散性.
解 　已知级数的前n项和是：
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因为 ,所以这个级数收敛,其和为1.
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例3 　讨论等比级数（也称几何级数）
的敛散性.
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解 (1)
前n项和
当 时， ，所以级数 收敛，其和
当 时， 所以级数 发散.
(2)
当 时， 于是
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所以级数 发散.
当 时， ，其前n项和
显然，当n→∞时，，级数 发散.
综上所述，等比级数 ，当 时收敛, 当

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注意 几何级数 ，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
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2．数项级数的基本性质
性质1 如果级数 收敛，其和为s, k为常数，则级数 也收敛，其和为ks；如果级数 发散，当k≠0时，级数 也发散.
由此可知，
级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变.
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