高中一年级数学必修4第一课时课件.ppt

平面向量数量积的
物理背景及其含义
数量积的运算律
复习：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向
量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
数乘向量运算律：
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a
② (λ+μ) a=λa+μa
③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，
则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）
叫做向量a与b的夹角。
O
B
A
θ
向量的夹角
当θ＝0°时，a与b同向；
O
A
B
当θ＝180°时，a与b反向；
O
A
B
B
当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
O
A
a
b
物理上力所做的功实际上是将力分解，只有在位移方向上的力做功．
θ
s
F
思考 ：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，
且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的
功W是多少？
W = |F||s|cos
其中|F|cosθ是F在物体位移方向上的分量的数量。
功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，
数学上，我们把“功”称为向量F与s“数量积”.
模仿力做功公式，我们定义向量的数量积的运算.
W = |F||s|cos
已知两个非零向量a与b，它们的
夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做
a与b的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
定
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
|a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影 。
注意：向量的数量积是一个数量。
表示数量积时中间的“·”绝对不能省略！！
a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
思考：
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；
当90°＜θ ≤180°时a·b为负。
当θ =90°时a·b为零。
从定义式可以看出cosθ的符号是关键
重要性质:
设
是非零向量，
方向相同的
单位向量，
的夹角，则
特别地
O
A
B
θ
a
b
B1
a·b=|a| |b| cosθ
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立．
7．对任意向量 a 有
√
×
×
×
×
×
√