实变函数论的教学方法与手段.doc

实变函数论的教学方法与手段 1. 分层分班教学:对相关基础(主要分析高考总成绩,高考数学、外语成绩,进大学后的数学分析、高等代数、解析几何大学等基础课成绩)接近的分在同一班上,对学有余力并要求多学一点的学生,每堂课给出有一定难度的复习思考题,引导他们阅读其他院校的书籍,并专门安排每周答疑时间,解决他们的疑难问题。每个年级学生 300 余人,一般分三层次教学。中间层次居多 200 人左右。在学有余力,且英语基础好的班尝试中英文双语教学。 2. 注重信息技术手段在教学中的应用:充分利用课件教学,不能将课件应用停留在放映幻灯片,我们的课件都设置了动画,基本上能作到按讲解顺序逐行显示文字和按作图顺序显示图形线条,重实质和效果。 3. 探究式、研究性教学法得到广泛应用:我们不仅将探究式、研究性学习的的方式用于问题提出后的解决方案、途径、技巧的探寻,而且用于《实变函数论》学科本身的产生发展的过程介绍,以及许多重要概念的提出之背景还原。现针对后两种情形举 3例如下: 例1:无论是我们的自编教材,还是每位主讲老师上第一节绪论课都开宗明义指出:《实变函数论》只做一件事:恰当的改造积分定义使得积分的范围更宽广,使得操作更加灵活。 Rieman 可积范围狭窄体现在:形式非常简单的 Dirichni 函数不可积。 Rieman 积分操作不灵活体现在积分的极限、级数的积分都需要一个难于验证的条件“函数列一致收敛”。以 Dirichni 函数不可积为例剖析 Rieman 积分缺陷产生的根源:分划呆板、苛刻。对症下药提出新思路:既然导致不可积的原因是分划呆板、苛刻,我们就适当放宽对分化的限制,将函数值接近自变量放在一起,即允许不分成区间。实现新思路的攻关路线:首先如何规定这个不一定规则的集合之“长度”(即测度)?(即第三章:测度论), 然后寻求哪些函数满足对任意可测,即最后对这类函数根据克服 Rieman 积分的缺陷的思路定义积分,(即第四章:可测函数)。准备工作完成后,接着按暨定思路规定新积分,并讨论新积分性质。(即第五章:积分理论)最后验证,新积分确实克服了 Rieman 积分的缺陷,达到逾期目的。(即第六章),至于第一、第二两章无非是为建立测度理论作必要准备而已。这样讲法的好处是让学生对该门学科研究内容、研究方法、研究工具,攻关路线都有整体了解,对学科发展过程感觉自然而然,易激发学习兴趣、利于提高学习效率。例2:在讲外测度时,我们并不是直接给出 Lebesgue 外测度的定义,而是先回忆以极限为工具推导圆面积公式的过程:外切正 n边形的面积(外包),内接正 n边形的面积(内填)的公共极限即圆面积,于是我们自然想到:用有限个区间外包、内填分别获得外测度,内测度、这无疑将测度概念拓广到了比一个区间全体更宽的范围,遗憾的是对有理数集和无理数积而言内测度是 0,外测度为 0,它们不相等,从而有理集、无理数集是 Jordan 不可测。因此,我们对推广范围不满意。为了克服此弊病,人们将有限个区间外包、内填改为可数个区间外包后得 Lebesgue 外测度,内测度,按此思路有理数集外测度内测度均为 0,即解决了有理数集可测的问题,但对无理数而言仍然外测度是 1,外测度仍然是 0,内、外测度仍然不相等,即问题并未得到彻底解决! 虽然这两次尝试均以失败而告终,但她确孕育了成功的希望: 将用可数