第二节
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算法
X-型积分区域
Y-型积分区域
将二重积分化为二次积分
与直系下二次积分互化
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一、利用直角坐标计算二重积分
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
直角坐标系下化二重积分为二次积分
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应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
由此得：
则
的值等于以D为底，
以曲面
为顶的圆柱体的体积，
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若D为Y –型区域
则
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当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
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穿过区域且平行于y 轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
直线与区域边界相交不多于两个交点.
计算中的技巧（问题）：
①、先画积分区域草图；
②、有无奇偶对称性:
X型区域的特点：
穿过区域且平行于x 轴的
Y型区域的特点：
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关于x奇，D关于y轴对称
关于y奇，D关于x轴对称
关于x偶，
关于y偶，
D关于y轴对称
D关于x轴对称
称f(x,y)关于x为奇，
称f(x,y)关于x为偶，
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③、交换积分次序：
ⅰ、题目本有要求；
ⅱ、出现
ⅲ、二重积分恒等式证明。
④、积分原则：与定积分计算基本一致；
（先对 x 积分，视 y 为常量，
对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？
穿入穿出不唯一。
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解
积分区域如图
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