样本及抽样分布.docx

第六章样本及抽样分布
【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；
2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；
3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；
4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布一一 72分布，t分布，
F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【学时分配】4学时
【授课内容】
前言
前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一 门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性； 而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的 一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来 选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客 观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理 统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
随机样本
一、总体与样本
、个体
在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为 总体；而把组成总体的每个元素 称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是 个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每 个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几 项数量指标X（可以是向量）和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿 命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了 X的这样或那样的数值， 因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的 那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和 数量指
标X可能取值的全体组成的集合 等同起来。
定义1 :把研究对象的全体（通常为数量指标 X可能取值的全体组成的集合）称为 总体；总体中 的每个元素称为个体。
我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指 标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不 区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体 X 0根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有 限总体和无限总体。
例1:考察一块试验田中小麦穗的重量：
X =所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体一一每个麦穗重x
对应的分布：F（x）=P{t Ex}=重里［穗、=—1— f e1 23 dt ~ N/,。2） 0<x<y
一、 / 总麦穗数
2 二：二二
例2:考察一位射手的射击情况：
X =此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体；
每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）
个体数量化x =」
’1射中
0未中
1在总体中的比例p为命中率
0在总体中的比例1-p为非命中率
总体X由无数个0, 1构成，其分布为两点分布 B（1, p） P{X =1} = p,P{X =0}=1-p

为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。
抽样一一从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。
一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的 性质。按照一定规则从总体X中抽取的一组个体（X1，X2，…，Xn）称为总体的一个样本，显然，样 本为一随机向量。
为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行 n次）,
若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了 X1,X2，…，Xn的分布相同，与总体 一样。②独立性：X1,X2，…，Xn相互独立。那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本 （X1,X2，…，Xn）称为简单随机样本。易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本， 无放回的抽样不能保证X1,X2，…，Xn的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单 随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本
对每一次观察都得到一组数据(Xi,X2，…，Xn),由于抽样是随机的，所以观察值(Xi,X2，…，Xn) 也是随机的。为此，给出如下定义：
定义2：设总体X的分布函数为F(X),若Xi,X2，…，Xn是具有同一分布函数F(X)的相互独立的随 机变量，则