二阶线性微分方程的解法.doc

二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线形微分方程的概念
形如 (1)
、均为实数,为已知的连续函数.
如果,则方程式 (1)变成
(2)
我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1．解的叠加性
定理1 如果函数与是式(2)的两个解, 则也是式(2)的解,其中是任意常数.
证明 因为与是方程(2)的解,所以有
将代入方程(2)的左边,得
=
所以是方程(2)的解.
定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.
叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.
、线性无关的概念
设为定义在区间I的n个函数,若存在不全为零的常数使得当在该区间有, 则称这n个函数在区间I线性相关,否则称线性无关.
例如 在实数围是线性相关的,因为
又如在任何区间(a,b)是线性无关的,因为在该区间要使
必须.
对两个函数的情形,若常数, 则,线性相关,若常数, 则,线性无关.

定理2 如果与是方程式(2)的两个线性无关的特解,则为任意常数)是方程式(2)的通解.
例如,是二阶齐次线性方程,是它的两个解,且常数,即,线性无关, 所以
(是任意常数)是方程的通解.
由于指数函数(r为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,使满足方程(2).
将求导,得
把代入方程(2),得
因为, 所以只有 (3)
只要满足方程式(3),就是方程式(2)的解.
我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程(2)的系数.
特征方程(3)的两个根为 , 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.
当时，是两个不相等的实根.
,
是方程(2)的两个特解,并且常数,,得方程(2)的通解为
当时, 是两个相等的实根.
,这时只能得到方程(2)的一个特解,还需求出另一个解,且常数,设, 即
.
将代入方程(2), 得
整理,得
由于, 所以
因为是特征方程(3)的二重根, 所以
从而有
因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程(2)的另一个解
.
那么,方程(2)的通解为
即 .
当时,特征方程(3)有一对共轭复根
()
于是
利用欧拉公式 把改写为
之间成共轭关系,取
=,
方程(2)的解具有叠加性,所以,还是方程(2)的解,并且常数,所以方程(2)的通解为
综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:
(1)写出方程(2)的特征方程
(2)求特征方程的两个根
(3)根据的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.
特征方程的两个根
方程 的通解
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根
例1求方程的通解.
解: 所给方程的特征方程为
所求通解为 .
例2 求方程满足初始条件的特解.
解 所给方程的特征方程为
通解为
将初始条件代入,得 ,于是
,对其求导得
将初始条件代入上式,得
所求特解为
例3求方程的通解.
解 所给方程的特征方程为
其根为
所以原方程的通解为
二、二阶常系数非齐次方程的解法

定理3 设是方程(1)的一个特解,是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则是方程式(1)的通解.
证明 把代入方程(1)的左端:
=
=
使方程(1)的两端恒等,所以是方程(1)的解.
定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端是几个函数之和,如
(4)
而与分别是方程
与
的特解,那么就是方程(