定积分的简单应用体积PPT学习教案.pptx

会计学
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定积分的简单应用体积
自学导引
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(1)简单旋转体体积的求解步骤
①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形；
②确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分上、下限；
③确定被积函数；
④确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)；
⑤求出定积分，即旋转体的体积．
2．简单旋转体体积求法
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提示　本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积，类似求面积，也可以利用定积分求空间几何体的体积，一般情况下，其旋转轴为x轴，根据旋转体的定义，旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧，而在利用定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线．
：如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积？
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设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.
名师点睛
1．简单几何体的体积计算
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在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示．设第i个“小长条”的宽是Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片，如图乙所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底面半径为yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi.
该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]．
这个问题是积分问题，则有
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(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数．
(2)分清端点．
(3)确定几何体的构造．
(4)利用定积分进行体积表示．
2．利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于
3．一个以y轴为中心轴的旋转体的体积
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得到一个几何体，求它的体积．
[思路探索] 由旋转体体积的求法可知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积．
题型一　求简单几何体的体积
【例1】 给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，
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【训练1】 如图所示，给定直角边为a的等腰直角三角形，绕
y轴旋转一周，求形成的几何体的体积．
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