方阵的逆矩阵PPT学习教案.pptx

会计学
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方阵的逆矩阵
第一章 矩阵
§ 方阵的逆矩阵
一. 逆矩阵的概念

1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得
AB = BA = E,
则称A可逆(invertible), 并称B为A的
逆矩阵(inverse matrix).
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第一章 矩阵
§ 方阵的逆矩阵

例1: En
例2:
例3:
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第一章 矩阵
§ 方阵的逆矩阵
. A可逆 A的逆矩阵唯一.

2. 逆矩阵的唯一性
若AB = BA = E, AC = CA = E,
则B = BE
=B(AC)
= (BA)C
= EC
= C.
当方阵A可逆时, A的逆矩阵记为A1.
注： A与A1乘法可交换.
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第一章 矩阵
3. 逆矩阵的运算性质
设A, B为同阶可逆方阵, 数k  0. 则
(1) (A1)1 = A.
(2) (AT)1 = (A1)T.
(3) (kA)1 = k1A1.
(4) (AB)1 = B1A1.
要证明(4), 只要验算
① (B1A1)(AB) = E,
§ 方阵的逆矩阵

② (AB)(B1A1) = E
即可.
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第一章 矩阵
二. 初等矩阵与可逆矩阵
1. 初等矩阵的可逆性
(1) E(i, j)1 = E(i, j),
§ 方阵的逆矩阵

(2) E(i(k))1 = E(i(k1 )),
(3) E(i, j(k))1 = E(i, j(k)).
小结：
初等矩阵
的逆矩阵
仍为
初等矩阵
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第一章 矩阵
2. 可逆矩阵的分解
§ 方阵的逆矩阵

初等
行变换
A可逆 U可逆
行最简形U
= P1P2…PsA
 U中不会有零行
= E
 U =
1 0 … 0
0 1 … 0
0 0 … 1
…
…
…
…
= P1P2…PsA
 A = Ps1…P21P11
为初等矩阵的乘积.
两边同时左乘(Ps1…P21P11)
. A可逆A可写成初等矩阵的乘积.
A
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第一章 矩阵
3. 矩阵的标准分解
. 设A是mn矩阵, 则存在m阶可逆
矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得
A = P Q.
§ 方阵的逆矩阵

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第一章 矩阵
三. 用初等变换求逆矩阵
§ 方阵的逆矩阵

考虑下面分块矩阵的乘法
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第一章 矩阵
§ 方阵的逆矩阵
例4. 设 A =
, 求A1.
1 2 3 1 0 0
2 2 1 0 1 0
3 4 3 0 0 1
解:
初等
行变换
1 0 0 1 3 2
0 1 0 3/2 3 5/2
0 0 1 1 1 1
故A1 =
1 3 2
3/2 3 5/2
1 1 1
.
1 2 3
2 2 1
3 4 3

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