高数上册知识点.docx

高等数学上册知识点
-、 函数与极限
(一) 函数
函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性) ；
反函数、复合函数、函数的运算；
初等函数：哥函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;
函数的连续性与间断点；
函数 f (x) 在 x0连续 V > lim f(x) = f(x0)
- x >X0
间断点 f 第一类：左右极限均存在.( 可去间断点、跳跃间断点 )
T第二类：左右极限、至少有一个不存在 .( 无穷间断点、振荡间断点)
闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论
(二)
1、
极限
定义
1)数列极限
2)函数极限
lim Xn =au Vs >0,三N^N, Vn > N , Xn -a < z n^e
lim f(x) =Au Vs >0, 3d >0, Vx,当 0 <|x—x0 <6 时，f (x) - A < s
2、
1)
左极限：f(x°~) = iim f(x) 右极 Pf (x# = limJ ⑺
x ：x0 - x 的
lim f(x) =A 存在 y f (x0") = f (xj4)
x-x0
极限存在准则
夹逼准则： 1 ) yn W xn E zn ( n 2 n0)
lim yn = lim zn = a
n j ： n j：,：
「.Jim xn = a
… n 3
2)
1)
单调有界准则：单调有界数列必有极限 .
无穷小(大)量
定义：若lim a =0则称为无穷小量；若lim a =8则称为无穷大量.
2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k阶无穷小
Th1 1 ~ ： u - = 0( ：■)；
Th2
a〜a ： 口〜P ：lim —存在，则 lim 一 二 lim 一(无穷小代换)
ar a ar
4、求极限的方法
1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则； 3)
4) 两个重要极限： a) lim 泣 =1
x ：。 x
极限运算准则及函数连续性；
… - 1 x
b) lim (1 x)x = lim (1 )
x 0 x )二二 x
5)
无穷小代换：(xt0)
a) x ~ sin x ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx b)
1 -cos
c) ex —1 ~ x , (ax—1~xlna) d) ln(1+x)〜x (loga(1+x)——) e) (1+x)" — 1~£x
ln a
二、 导数与微分
(一) 导数
1 f (x) 一 f (小)
7E乂. f (x0) = hm — -
XX。 x —'Xo
左导数：f2x0)=lim_f(x)-f(x。) ,右导数：f〃xo) = lim+f(x) —f(x。) xT。一 x -Xo x—x0 x —Xo
函数 f (X)在 Xo 点可导 U f 二(X。)= f+(Xo)
几何意义：f (x。)为曲线y = f(x)在点(Xo,f(x。)型的切线的斜率.
可导与连续的关系：
求导的方法
导数定义；2)基本公式；3)四则运算；4)复合函数求导(链式法则)；
5)隐函数求导数； 6)参