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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
（一）向量及其线性运算
1、
向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面;
2、线性运算：加减法、数乘;
3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、利用坐标做向量的运算：设） =（4，%，&）,后=（么也），
—♦
则 a±b =（ax±bx,a ±b ,az ±b ） Aa = （Aax,Aa Aaz）.
5、向量的模、方向角、投影: 1）向量的模：团=J' + V+z?；
2）两点间的距离公式：=八々一%）2 + （%—%）2 + （4 — 4•
3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
x a y Z
4）方向余弦：cos" 冏cos/?二司cos片可 cos2 a + cos2 p + cos2 y = 1
5）投影：Pr//i=Ncos0,其中夕为向量7与万的夹角。
（二）数量积，向量积
1、数量积：万石二|五|同cos"
一一 一 2
1）a a — a
—♦ —♦
2）5 _L b。a - b = 0
a = ahY + ah，+ a_b.
人 人 y y £ z.
2、向量积：c =axb
大小：|万|bsin0 t方向：),5符合右手规则
axa = 0 —* —♦ -♦
a II b O axb = 0
一 — 一
i j k
axb = a,. ”、， ci 丁
入) z
久 by bz
运算律：反交换律b xa =-axb
(三)曲面及其方程
1、曲面方程的概念：S :/(x,» z) = 0
2、旋转曲面：
yoz 面上曲线 C : /(» z) = 0,
绕y轴旋转一周："yZx? + 22)= 0
绕Z轴旋转一周：/(士6 +y2,z)=0
3、柱面：
(F(x9y) = 0
尸(x,y) = °表示母线平行于Z轴，准线为J 八 的柱面
[z = 0
4、二次曲面
2 2
九工y 一2
1)椭圆锥面：户炉一
X2 （ y2 （ z2 _1
2）椭球面：/+炉+ / =
2 2 2
% । । % _ 1
旋转椭球面：户十户+”=1 2 2 2
% V Z
3）单叶双曲面：〃2十右2 2 -
Cz€- ex C-x
2 2 2
x y z _
4）双叶双曲面：下一炉一/二
2 2
% y _
5）椭圆抛物面：户+后=2
2 2
- y
6）双曲抛物面（马鞍面）:.2 ）2
2 2
j 二二1
7）椭圆柱面：々2十人2 -1
2 2
二—二=1
8）双曲柱面：.2 52
2
9）抛物柱面：x = ay
（四）空间曲线及其方程
JF（%, y,z） = 0
1、一般方程：I 一 、八 [G（x,y,z） = 0
x = a cos t
< y = a sin t
Z = bt
X = X。）
2、参数方程：1、=、（，），如螺旋线: z = z（r）
3、空间曲线在坐标面上的投影
F(x, y, z) = 0
G«y,z) =。'消去-得到曲线在面上的投影
(五)平面及其方程
1、点法式方程：A(x — %) + B(y — y0) + C(z — z°)=。
法向量：H = (A,B,C),过点(项)，％，？。)
2、一般式方程：Ax + By + Cz + D = G
截距式方程：
3、两平面的夹角：〃1=（A，B]，G），〃2=（42，鸟,。2）,
cosj t I- +3/2 +C]G]
J-j + Bt + c：・ + +
ill j_ n? A[4 + u + gg =0
4、点 «（项），X），z0）到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离:
_ |Ar（）+ By。+ Q° + D\
Ja2 + b2+c2
(六)空间直线及其方程
In 一般式方程：
Axx + B[y + Gz + = 0
A^x + y + + D）= 0
X7o y-)'o Z-Zo
2、对称式(点向式)方程：—京— = 一^ = 7-
方向向量：s=（m,n,p）f 过点（Xo，M），Zo）
x = x0 + mt
3、参数式方程：
Z = Z（）+ pt
\tn{m2+nin2 + pxp2
C6S(p =
4、两直线的夹角：?!=（町，巧,P1）,另=（加2，%，〃2），
/ 7 9 7 / 9 7 7
+ nf + yjm； + % +
L）IL, <=> m[m2 + n[n2 + p[p2 = 0
m. nx Pi
] / m2 p,
5、直线与平面的夹角：直