7.5本征值和本征向量ppt.ppt

本征值和本征向量 1 本征值和本征向量的定义)(VL????????)( .定义 1设V是数域 F上的一个向量空间,, 如果对于 F中的一个数λ, 存在 V中非零向量使得,则称λ为线性变换σ的一个本征值, 而叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量. ?问题 1定义为什么限制非零? ?问题 2 属于σ的本征值λ是否被本征向量唯一确定? 问题 3 属于σ的同一本征值λ的本征向量是否唯一确定?问题 4 F上的向量空间 V中本征向量与一维不变子空间有什么关系? 例题 1--3 2 本征值和本征向量的计算方法)(, dim VLnV???设,取定 V的一个基?? 1 2 , , , n ? ? ??,令关于这个基的矩阵为???. ijn A a ??? 1 2 , , , n ? ? ???若关于基的坐标?? 1 2 , , , n ? ? ???? 1 2 , , , . n x x x ??? 1 2 , , , . n y y y ?( ) ??关于基的坐标则 1 1 n n y x A y x ? ???? ????? ???? ???? ???? ?而( ) . ????? 3 ????????????????????? nnx xAx x?? 11?则有 10 ( ) (1) 0 nx I A x ?? ???? ???? ? ?? ???? ???? ???? ?即有 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 0 (1) nn n n nn n a a a x a a a x a a a x ???? ? ?? ???? ???? ? ?? ?????? ???? ???? ? ?? ?????? ????? 4 即关于基的坐标是上述( 1)以为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解; ??? 1 2 , , , n ? ? ?? AI??而( 1)有非零解?系数行列式 0 (2). I A ?? ?即是的一个本征值时其须满足( 2); F???? nnxx??????? 11 ?????)(?从而满足,即为线性变换的一个本征值. F??反之若满足(2) ,则(1) 有非零解, ?? 1 , , n x x ?同时,非零解即为本征向量关于基的坐标. ?? 1 , , n x x ???? 1 2 , , , n ? ? ?? 5 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) nn A n n nn x a a a a x a a f x xI A a a x a ? ? ?? ? ?? ??? ? ???? ????称为 A的特征多项式. 0 xI A ? ?称为 A的特征方程, xI A ?称为 A的特征矩阵. 定义 2 :??????????????? nn nn n naaa aaa aaaA??????? 21 2 22 21 1 12 11是数域 F上的 的一个本征值?特征多项式 0 (2). I A ?? ?? ?是相似矩阵有相同的特征多项式吗? 的全部的本征值可以由关于 V的任意一个基的矩阵的特征多项式来决定,因此把它改称为线性变换的特征多项式,记为???( ). f x ?定理 设为线性变换 dim , ( ), V n L V F ? ?? ? ?的一个本征值必要且只要是的特征多项式的一个根. ???( ) f x ? 7 ??????????????????????0 0)( 1?? nx xAI?)(xf A0)(?xf A?把在复数域 C内的根(即在复数域 C 内的解)叫做矩阵