初三数学圆知识点总结.docx

Prepared on 21 November 2021
初三数学圆知识点总结
圆——知识点总结归纳
要点归纳
一．圆的认识
1．圆的定义
O
A
r
（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，
另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O
叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。
（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集
合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半
径相等的两个圆为等圆。
2．圆的有关概念
（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中
的CD）。
B
O
A
（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。
直径等于半径的2倍。
D
C
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如
右图中的、）
其中大于半圆的弧叫做优弧，如，小
于半圆的弧叫做劣弧。
（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。
3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4．过三点的圆。
（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
5．垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：
（1）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6．与圆相关的角
（1）与圆相关的角的定义
①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
（2）与圆相关的角的性质
①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；
④半圆（或直径）所对的圆周角相等；
⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；
⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
二．与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：
（1）点在圆外
（2）点在圆上
（3）点在圆内
2．直线和圆的位置关系
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
（1）直线和圆相离，直线与圆没有交点；
（2）直线和圆相切，直线与圆有唯一交点；
（3）直线和圆相交，直线与圆有两个交点。
3．圆的切线
（1）定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点。
（2）切线的判定定理
经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。
（3）切线的性质定理及推论
定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论：
①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。