排列组合公式排列组合计算公式----高中数学.doc

排列组合公式/排列组合计算公式
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘 ，如    9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
                因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r
举例：
Q1:    有从1到9共计9个球，请问，可以组成多少个三位数？
A1:     123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算X畴。
       上问题中，任何一个只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合， 我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）
Q2:    有从1到9共计9个球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2:     213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算X畴。
        上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
　　例1 　设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
     解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法．
     　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法．
　　点评   由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．
    例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？
　　解   依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
　　　　∴ 符合题意的不同排法共有9种．
　　点评   按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．
　　例３　判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
　　（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

　　（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
　　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
　　（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
　　分析　（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
　　（1）①是排列问题，共用了 封信；②是组合问题，共需握手 （次）．
　　（2）①是排列问题，共有 （种）不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法．
　　（3）①是排列问题，共有 种不同的商；②是组合问题，共有 种不同的积．
　　（4）①是排列问题，共有 种不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法．
　　例４　证明 ．
　　证明　 左式
　　　　　　　　　　　　 右式．
　　　　　∴ 等式成立．
　　点评　这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化．
　　例5　化简 ．
　　解法一　原式
　　　　　　　　　　　　　
　　解法二　原式
　　点评   解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．

　　例6　解方程：（1） ；（2） ．
　　解 （1）原方程
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 解得 ．
　　　　（2）原方程可变为
　　　　　∵ ， ，