立体几何大题—利用等体积解题.doc

高考文科立体几何大题中有关体积的求法（学生版）
1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点
2、求点到平面的距离通常有四种方法
(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长
(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离
(3)体积法
(4)向量法
例题分析：
例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,
Q是PA的中点 求
(1)Q到BD的距离；
(2)P到平面BQD的距离
例2、如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.
B
A
C
D
O
G
H
例3、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求
(1)截面EAC的面积；
(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；
(3)三棱锥B1—EAC的体积
高考文科立体几何大题中有关体积的求法（教师版）
例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点
求 (1)Q到BD的距离；
(2)P到平面BQD的距离
解析：
(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足
连结QE，
∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE
∴QE的长为Q到BD的距离
在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,
∴AE=
在Rt△QAE中，QA=PA=c
∴QE=
∴Q到BD距离为
(2)解法一 ∵平面BQD经过线段PA的中点，
∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离
在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足
∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE ∴BD⊥AH
∴AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离
在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=
∴AH=
∴P到平面BD的距离为
解法二 设点A到平面QBD的距离为h，由
VA—BQD=VQ—ABD,得S△BQD·h=S△ABD·AQ
h=
例2． 如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.
B
A
C
D
O
G
H
思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.
解析一： ∥平面，
上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求
点O平面的距离,
，，平面,
又平面
平面，两个平面的交线是,
作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.
在中，.
又.
即BD到平面的距离等于.
解析二：∥平面，
上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.
设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则
,
即BD到平面的距离等于.
小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，，；解析二是等体积法求出点面距离.
例3、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求
(1)截面EAC的面积；
(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；
(3)三棱锥B1—EAC的体积
解析：
(1)连结DB交AC于O，连结EO，
∵底面ABCD是正方形
∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD
∴EO⊥AC，即∠EOD=45°
又DO=a，AC=a，EO==a，∴S△EAC=a
(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线
又EO∥BD1，O为BD中点，∴D1B=2EO=2a
∴D1D=a，∴A1B1与AC距离为a
(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱锥B1—EAC的高，得B1Q=a
2016年高考理科空间向量与立体几何综合例题
一、选择题
1、若a、b、c为任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是（　　）
A. (a+ b) +c=a+ (b+ c) B. (a+ b) ·c=a·c+ b·c
C. m(a+ b)=ma+ mb D. (