内切球和外接球例题.doc

高考数学中的内切球和外接球问题
一、直接法（公式法）
1、求正方体的外接球的有关问题
例１若棱长为３的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为＿＿_____＿______　.。
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为__＿＿＿___＿__＿__. 。
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2０07年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为,则此球的表面积为 　　　　　 。。
例4、（20０6年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为４，体积为1６，则这个球的表面积为（　 ）。 C。
A. 　 　 　　 　B。 　 　 C。　 　 D。
3。求多面体的外接球的有关问题
例5.　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 　 　 　 　。
解 设正六棱柱的底面边长为，高为,则有　∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离。∴外接球的半径。．
二、构造法（补形法)
1、构造正方体
例5 （２0０8年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______＿＿_＿____.
解　 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球。设其外接球的半径为，则有．∴。故其外接球的表面积．
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,
，则有。出现“墙角＂结构利用补形知识,联系长方体。
【例题】:在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。
解：因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以:四面体外接球的直径为的长即:　 所以球的表面积为
例 6．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )
A.　 　 Ｂ。　　 　　 　　C。　 Ｄ．　
解析:一般解法，需设出球心,作出高线,构造直角三角形,再计算球的半径。在此,由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体,再寻找棱长相等的四面体，四面体满足条件，即,由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为,从而外接球的直径也为，所以此球的表面积便可求得，故选A.
例7。在等腰梯形中,，,为的中点,将与分布沿、向上折起,使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为( ）.
A。 　　Ｂ。 　　 　　C.　 　 　D.
解析： 因为,，所以,即三棱锥为正四面体，至此,这与例6就完全相同了，故选Ｃ。
例8 。已知球的面上四点A、B、C、D,,，,则球的体积等于 　 　.
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径。而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于,,联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为,则此长方体为正方体,所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解