【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭006-不等式、推理与证明.doc

【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭006-不等式、推理与证明
第六章　不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b.
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b<a
⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇒a＋c>b＋c
⇒
可乘性
⇒ac>bc
c的符号
⇒ac<bc
同向可加性
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c.
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无
(2)a<0<b⇒<；
(3)a>b>0,0<c<d⇒>；
(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
2．不等式的分数性质
(1)真分数的性质：
<；>(b－m>0)；
(2)假分数的性质：
>；<(b－m>0)．
[练一练]
若0<a<b，c>0，则与的大小关系为________．
答案：>
考点一
比较两个数(式)的大小
，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M<N　　　　　　　　 　B．M>N
C．M＝N D．不确定
解析：选B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.
∴M>N.
2．若实数a≠1，比较a＋2与的大小．
解：a＋2－＝＝
∴当a>1时，a＋2>；
当a<1时，a＋2<.
[类题通法]
比较大小的常用方法
(1)作差法：
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法：
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
(3)特值法：
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．
注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
考点二
不等式的性质
[典例]　(1)(2014·太原诊断)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的(　　)
A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分必要条件 D．必要不充分条件
(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　(1)由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b
＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件，选D.
(2)法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，
∴ad＜bc，故①错误．
∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，
故②正确．
∵c＜d，∴－c＞－d，
∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，
a－c＞b－d，故③正确．
∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，
故④正确，故选C.
法二：取特殊值．
[答案]　(1)D　(2)C
[类题通法]
判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：
(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；
(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；
(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．
[针对训练]
若a>b>0，则下列不等式不成立的是(　　)
A.< B．|a|>|b|