微积分（第四版）5.7 平面图形的面积.pptx

平面图形的面积
特殊的曲线四边形
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考虑一类特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形,如图
特殊的曲线四边形
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自下向上观察其图形,上下两条曲线边分别为曲线y=φ(x)与y=ψ(x)(φ(x)≥ψ(x)≥0),左右平行(重合)于y轴的直线边分别为直线x=a与x=b或上下两条曲线边交点的横坐标分别为x=a与x=b(a<b).
特殊的曲线四边形是指四条边中有一对对边为平行于y轴的直线边
特殊的曲线四边形
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特殊的曲线三边形是指三条边中有一条边为平行于y轴的直线边
特殊的曲线两边形是指两条边中有一条边在上面,而另一条边在下面
根据§,这类特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形的面积
若上下两条曲线边y=φ(x),y=ψ(x)不都在x轴上方,可以证明上述计算面积的公式仍然成立.
特殊的曲线四边形面积
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特别地,若下面曲线边y=ψ(x)为x轴,即ψ(x)=0,则这类特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形的面积化为曲线y=φ(x)(φ(x)≥0,a≤x≤b)下的曲边梯形面积
特殊的曲线四边形面积
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若上面曲线边y=φ(x)为x轴,即φ(x)=0,则这类特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形的面积为
计算特殊的曲线四边形面积
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步骤1　必须画出围成平面图形的各条边,其中常见的上下两条曲线边为直线、抛物线或基本初等函数曲线,对于上述特殊的曲线三边形或曲线两边形,需求出上下两条曲线边交点的横坐标;
综合上面的讨论,计算上述特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形面积S的步骤如下:
计算特殊的曲线四边形面积
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步骤2　确定并计算代表所求面积的定积分:上面曲线边减下面曲线边对应被积函数,左面与右面平行(重合)于y轴的直线边或上下两条曲线边交点的横坐标分别对应积分下限、
对于任意连续曲线围成的平面图形,可以用经过曲线交点的平行于y轴的直线将它分成若干个上述特殊平面图形,其面积之和即为此平面图形的面积.
例1
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解:画出曲线y=ex与直线y=x-1,x=0,x=1,得到它们围成的平面图形,如图
求由曲线y=ex与直线y=x-1,x=0,x=1围成平面图形的面积S.
例1
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注意到这个平面图形是特殊的曲线四边形,其中上下两条曲线边分别为曲线y=ex与直线y=x-1,左面直线边为y轴即直线x=0,右面平行于y轴的直线边为直线x=1
所以所求平面图形的面积