第四章根轨迹分析法.ppt

第四章 根轨迹分析法
系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统的稳定性和动态特性。
l   研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计
调节器（设计问题）。
l   研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性
之间的定性、定量关系（分析问题）；
l   根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平
面的位置；
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伊凡思(. Evans)创立根轨迹法（1948）
－几何图解求解特征根
l  系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时，
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
l  可以推广到其它参数的变化－广义根轨迹。
l  可用于单变量系统和多变量系统。
l  常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。
l  利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控
制系统。
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本章主要内容
以K为变量的常规根轨迹的绘制方法
以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法
根轨迹分析方法的应用
－利用根轨迹分析和设计控制系统
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根轨迹的概念
定义：
根轨迹
—系统中某一参数在全部范围内变化时，
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
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1 根轨迹举例
例4-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。
－
K
开环传递函数：
分析：
有2个开环极点
没有开环零点。
闭环特征方程
求出2个闭环特征根：
（4-1-1）
闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化，
闭环特征根在根平面上形成根轨迹。
闭环传递函数：
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K取不同值：
（等于两个开环极点）
Im
Re
0
(两根重合于－)
（即0≤K≤1/4，两根为实根）
×
×
﹣1
﹣
(两根为共轭复数根，其实部为－)
●
●
6
总结：
有两个闭环极点，有2条根轨迹。
根轨迹是从开环极点出发点。
通过选择增益K，可使闭环极点落
在根轨迹的任何位置上。
如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。
Im
Re
0
×
×
﹣1
﹣
●
●
这是个？阶系统，
2
根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。
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例4-2
对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数ξ=，确定系统闭环特征根。
根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。
解：
阻尼角θ计算如下：
×
Im
Re
0
×
﹣1
﹣
●
8
。
与（4-1-1）式比较得：
即K=1。
（4-1-1）
获得系统的根轨迹有两个方法：
图解法：利用Evans总结的
规律画出根轨迹。
－近似、简单，尤其适合高阶系统
解析法：对闭环特征方程解
析求解，逐点描绘。
－精确，工作量大
×
Im
Re
0
×
﹣1
﹣
●
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根轨迹绘制的基本规则
1、根轨迹的基本关系式
典型的反馈控制系统如图:
G(s)
H(s)
－
其开环传递函数：
（4-2-1）
其中：K:开环增益，
— 开环零点，
— 开环极点。
×
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