函数《周期性、对称性专题》.doc

函数《周期性、对称性专题》
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数，并且2(b-a)是它的一个周期）
◆函数的奇偶性、对称性与周期性综合
定理6：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象既关于直线x= a成轴对称，又关于点（b,c）（a≠b）成中心对称，则f(x)为周期函数，并且4(b-a)是它的一个周期）
推论1：若奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期；
推论2：若奇函数f(x)的图象关于点(a,0) (a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
推论3：若偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
推论4：若偶函数f(x)的图象关于点(a,0) (a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期。
定理7：函数为偶函数函数关于直线x=a对称；函数为奇函数函数关于点对称。
练习1：对称性
1、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。
2、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。
3、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于______对称,图象关于__________对称。
4、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。
5、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为________ ___ 。
6、设函数的定义域为R，则下列命题中:
① 若是偶函数，则图象关于y轴对称；
② 是偶函数，则图象关于直线对称；
③ ，则函数图象关于直线对称；
④ 与图象关于直线对称.
其中正确命题序号为___ ____。
练习2：周期性
1、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( )
A. B.
C. D.
3、设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 （ ）
A. B.
C. D.
4、函数对于任意实数满足条件，若则_____ ___。
5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为______ __。
6、设函数f(x)定义在R上,满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)= f(3)=(x)=0在闭区间[-2008,2008]上的根的个数.
7、函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式。
练习3：奇偶性、对称性与周期性综合
1、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )
C.

2、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（ ）
(x)为奇函数 (x)为偶函数 (x)+1为奇函数 (x)+1为偶函数
3、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则____ ____。
4、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=____________
5、设f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=对称。求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值____________
6、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)=f(x-1)为奇函数，求f(2009)的值____________。
7、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。
8、设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线x=2对称,已知x∈[－2,2]时,函数f(x)=－x2+∈[－6, －2]时,f(x)的解析式。