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导数的定义及几何意义
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，记作 。
注:①函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点(，)及点（＋，
）的割线斜率。④导数是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线上点(,)处的切线的斜率。⑤若极限不存在,则称函数在点处不可导。⑥如果函数在开区间内每一点都有导数,则称函数在开区间内可导;此时对于每一个∈,都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数；导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值。
[举例1]若，则等于:
(A） -1　 　　 　 　 (B） -2　　 　　　 （Ｃ)　1 　 　 　　 （D) １/２
解析:∵，即＝2=-1。
[举例2] 已知为正整数设，证明
解析：本题可以对展开后“逐项”求导证明;这里用导数的定义证明:
＝
＝
＝
=。［来源:学_科_网Z＿X＿X_Ｋ］
［巩固１]一质点作曲线运动,它的位移S与时间t的关系为: ,试用导数的定义求t =3时的速度。［来源:学#科#网][来源：学科网ZＸXK]
［巩固２]设C是成本,ｑ是产量,成本与产量的函数关系式为C＝C(q）,当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划. 如果无限趋近于０时,无限趋近于常数Ａ,经济学上称Ａ为边际成本. 它表明当产量为时,增加单位产量需付出成本Ａ（这是实际付出成本的一个近似值)。设生产x个单位产品的总成本函数是C（x）=8+,则生产8个单位产品时,边际成本是: ( 　) 　 　 　　 　 　 　 　　　　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　 　 [来源：］
A．．16
２．常用导数公式:,,,;
导数的运算法则:若函数与的导数存在,则,［来源:学科网]
,;
(这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比)；
复合函数的导数:由与＝得到复合函数,则=．。
[举例1]已知，则=　 　 　 。
解析:是常数,∴=３＋2-1= -2
∴,故＝３。
[举例2]，=　 　　。
解析:本题可以用“倒序相加”法,也可以用“通项变化”法（k=　ｎ);这里,我们观察 　　①,不难发现其通项求导后的系数正是所求“项”;故考虑对①式两边同求导数,得:
,令＝１得:
=[来源:学科网ZXXK]
[巩固1］ ,则=　　 。
[巩固2］已知函数,则的值为:[来源:学科网]
A. 　 B． 　　　 　　C.　　　　　 　D.[来源:学科网ZＸXK]
:曲线在其上点,处的切线的斜率。用导数研究切线问题,切点是关键(切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率)。
[举例1]曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　 )［来源:学。科。网Ｚ。X。Ｘ。K］
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