[讲义答案]第4讲 四点共圆2.pdf

模块1：
例题1
1
答 案 见解析
解析 如图，设点R在CD、BC、DA、AB所在直线上的投影分别为M、N 、S、T ．则
∠T SN = ∠T SA + ∠DSN ，
∠T MN = ∠RMN − ∠RMT ．

因为R、T 、A、S四点共圆，所以，∠T SA = ∠T RA．
同理，由R、S、N 、Q四点共圆，有
∠DSN = 180∘ − ∠N SQ = 180∘ − ∠N RQ．
由R、N 、C、M，R、P 、M、T 分别四点共圆及∠CN R = 90∘∠P T R = 90∘，得
∠RMN = ∠RCN = 90∘ − ∠CRN ∠RMT = ∠RP T = 90∘ − ∠P RT ．
故∠T SN + ∠T MN = ∠T SA + ∠DSN + ∠RMN − ∠RMT
  = ∠T RA + 180∘ − ∠N RQ + 90∘ − ∠CRN − (90∘ − ∠P RT )
= 180∘ + ∠P RA − ∠QRC．
设CA与P Q交于点L．
因为L、O、A、C是调和点列，且∠LRO = 90∘，所以，RO是∠ARC的角平分线，RL是
∠ARC的外角平分线．于是，∠P RA = ∠QRC．
从而，∠T SN + ∠T MN = 180∘，即M、N 、S、T 四点共圆．
例题2
1
答 案 见解析
解析
证明：如图，易知，

①点D在圆KAD 、圆 KBD 、圆 KCD 、圆 KDE 上；
②点D为圆KAD 与 圆KBD 的唯一交点，也 为圆KCD 与 圆KDE 的唯一交点；
③圆KAD 与 圆KBD 交 圆KCD 与 圆KDE 于点 D，且互成直角，同理，在点P QRS处也互成直
角．
由反演变换的性质，知只有直线或圆能通过反演变换变为圆．