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二重积分的计算方法
D
在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.
例如:计算
解:
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续,在上连续,则
(2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分.
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集.
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, ,我们介绍配置二
次积分限的方法
-- (假设的图形如下 )
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.
例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
类似地,

例2计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.
例3求由曲面及所围成的立体的体积.
解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域

消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式

3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算
而
由,的对称性有




所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
1、变换公式
按照二重积分的定义有
现研究这一和式极限在极坐标中的形式.
用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线
,将剖分成个小闭区域.
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算
其中,表示相邻两圆弧半径的平均值.
(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有
于是
即
由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
(1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素.
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.
【情形一】积分区域可表示成下述形式
其中函数, 在上连续.
则
【情形二】积分区域为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ).
故
【情形三】积分区域为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而
故
则
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.
例4将下列区域用极坐标变量表示
1、
2、
Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；
Ë再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围.
注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.
利用此题结果可求出著名概率积分 .
而被积函数满足 ,从而以下不等式

成立，再利用例二的结果有
,
,
于是不等式可改写成下述形式
故当时有 ,
即 .
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ).
例6计算
解此积分区域为
区域的简图为
该区域在极坐标下的表示形式为
小结 二重积分计算公式
直角坐标系下 X—型