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英豪班培训资料：圆（竞赛）
英豪班培训资料：圆
一、弦切角定理：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。（弦切角就是切线与弦 所夹的角）
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.
几何语言：...PB是③0的切线
.\ZPBC=ZA
二、圆幕定理
圆幕的定义:一点P对半径R的圆。的幕定义如下：OP R所以圆内的点的慕为负数， 圆外的点的幕为正数，圆上的点的幕为零。圆幕定理是相交弦定理、切割线定理及割线 定理（切割线定理推论）以及他们推论的统称。
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图，AB、CD为圆。的两条任意弦。相交于点P,连接AD、BC,则ZD=ZB, ZA=ZC„ 所以△ APD^ABPCo 所以 APPD AP BP PC PD PCBP
（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点 的两条线段长的比例中项。
如图，PT为圆切线，PAB为割线。连接TA, TB,贝lJZPTA=ZB （弦切角等于同弧圆周 角）所以△ PTAs^PBT,所以1
PTPA PT2 PA PB PBPT
（3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A. B. C. D则有
PA • PB=PC • PD„
这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。存在: PA PB PC PD
进一步升华（推论）：
过任意在圆。外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2, L1与圆交于
A、B （可重合，即切线），L2与圆交于C、Do则PA・PB=PC・PD。若圆半径为r,则 PC PD （PO R） （PO R） P02 R2 P02 R2| （一定要加绝对值，原因见下）为定 值。这个值称为点P到圆0的幕。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）
若点P在圆内，类似可得定值为R2 P02 |P02 R2
故平面上任意一点对于圆的幕为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
（这就是“圆蓦”的由来）
如图，在 RtAABC 中，ZC=90° , BC=5,。。与 RtAABC 的工边 AB、BC、AC 分相
切于点D、E、F,若。0
的半径r=2,则RtAABC的周长为 2
D是ZXABC的边AB上的一点，使得AB=3AD, P是AABC外接圆上一点，使得
ADP ACB,求 PB 的值.
解：连结 AP,则 APB ACB ADP,
所以，ZxAPBszXADP,
（5 分）.LABAP
APAD
22 所以 AP AB AD 3AD, .LAP
所以 AD, （10 分）PBAP . （15
分）PDAD
如图，点P为。。外一点，过点P作。0的两条切线，切点分别为A,
PB的平行线，交。。,交。。于点E；连结AE,并延长AE交PB于点 ：PE - AC=CE • KB.
P
证明：因为AC〃PB,所以ZKPE=。。的切线，3
所以ZKAP=ZACE,故ZKPE=ZKAP,于是
△KPEs/XKAP,
所以 KPKE2 ,即 KP KE KA. KAKP
2由切割线定理得KB KE KA
所以KP KB. 10分
因为 AC〃PB, △KPEs/XACE,于是
PEKPPEKB 故,CEACCEAC
即 PE • AC=CE • KB. 15 分
已知AB为半圆。的直径，，AP为半径
作。A, OA与半圆。相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作。B, OB与半圆0相交 于点D,：MP分别与。A和。B相切.
证明：如图，连接AC, AD, BC, BD,
并且分别过点C, D作AB
（第13A题答案图）
为E, F,则CE〃。0的直径，所以 ACB ADB 90和RtAABD中，由 射影定理得 PA2 AC2 AE AB, PB2 BD2 BF AB. 5 分
两式相减可得PA PB AB AE BF
,22
又 PA PB (PA PB)(PA PB) AB
PA PB , 22
于是有 AE BF PA PB,即 PA AE
PB BF,
所以PE PF,也就是说，，MP是直角梯形CDFE的中位 线，于是有MP AB,从而可得MP分别与。A和。B相切.
如图，圆内接四边形ABCD中，CB CD.
求证：CA2 CB2 AB AD4
AC
证明：连结BD、AC交