二重积分的计算方法.ppt

1 第二节二重积分的计算法计算二重积分的方法:二重积分累次积分(即两次定积分).2 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D , ( , )d ( , )d d D D f x y f x y x y ???? ?? d d d x y ??故二重积分可写为 x yo D D 则面积元素为一、利用直角坐标系计算二重积分 3 (2) 如果积分区域为: 其中函数、在区间上连续.)( 1x?)( 2x?],[ba [X-型] b )( 2xy??)( 1xy??a DxO yxO y )( 1xy??)( 2xy??Db a ,bxa??).()( 21xyx???? 4 回忆:平行截面面积为已知的立体的体积 x ox dx x?ab )(xA 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积,)(xA 为x 的已知连续函数 d ( )d V A x x ?( )d ba V A x x ??立体体积)(xA 此方法关键是求 5 的值等于)0),((d),(??? yxfyxf D??计算截面面积),(yxfz?( 红色部分即 A(x0) ) * 以D为底, 以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法. 用二重积分的几何意义说明其计算法: 是区间)]( ),([ 0201xx??为曲边的曲边梯形. ),( 0yxfz?为底, 曲线 x y zO),(yxfz?D )( 2xy??)( 0xA a b 0x )( 1xy??6 x y zO),(yxfz?D )( 2xy??)( 0xA a b 0x )( 1xy?? y zO)( 01x?)( 02x?),( 0yxfz?A(x 0))( 01x?)( 02x?yyxfxAd),()( 00??yyxfxA xxd),()( )()( 21??????? DyxfV?d),(?? baxxAd)(x bad??)d),(( )()( 21? xxyyxf ????? ba xxyyxfx )()( 21d),(d ??先对 y后对 x的二次积分(累次积分) 7 (2) 积分区域为: ,dyc??)()( 21yxy??????? Dyxf?d),( 先对 x后对 y的二次积分也即?? dc yyxyxfy )()( 21d),(d ????? Dyxf?d),( 其中函数、)( 1y?)( 2y?],[dc )( 2yx??c d)( 1yx??xO yxO yD )( 2yx??c d)( 1yx??? dcyd )d),((? xyxf)( 1y?)( 2y?[Y-型] 8 X- 型区域也不是 Y- 型区域时,将D分成几部分,使每部分是 X- 型区域或是 Y- 型区域. X- 型区域也是 Y- 型区域时,可以用两个公式进行计算.ⅠⅡⅢyx0 yx0 c dab D 9 特殊地????? D ba dcyyxfxyxfd),(dd),(?)()(),( 21yfxfyxf??若??? yxyfxf Ddd)()( 21即等于两个定积分的乘积. D为矩形域:则则 a≤x≤b,c ≤y≤d?? baxxfd)( 1yyf dcd)( 2?? yyfxf dcd)()( 21?? xd)? ba( ??? dc baxyxfyd),(d10 二重积分是化为两次定积分来计算的,: >,下限应为外层积分变量的函数. ,下限应为常数(后积先定限). .