函数对称性、周期性全解.doc

函数对称性、周期性全解析
函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性基本知识
同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
对称性定义（略），请用图形来理解。
对称性：
我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的
探讨：（1）函数关于对称
也可以写成 或
简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。
若写成：，函数关于直线 对称
（2）函数关于点对称
或
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。
若写成：，函数关于点 对称
（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。
周期性：
（1）函数满足如下关系系，则
A、 B、
C、或（等式右边加负号亦成立）
D、其他情形
（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）
如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）
（4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。
定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
两个函数的图象对称性
与关于X轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
与关于Y轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
关于点(a,b)对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。
与关于直线对称。
函数的轴对称：
定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴），.
函数的点对称：
定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.
推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.
推论4：如果函数满足，，.
三、试题
1．已知定义为R的函数满足，，且，则的值（A ）.
A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.
分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，，先用代替，使变形为
.，.
，且函数在上单调递增，所以
，又由，
有，
.选A.
当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.
2：在R上定义的函数是偶函数，，则( B )
，在区间上是减函数
，在区间上是减函数
，在区间上是增函数
，在区间上是增函数
分析：