第五章数值计算主要内容 线性代数 函数分析 数据拟合 插值和样条 常微分方程的数值解 线性代数一、 LU 分解 1. LU 分解 一个矩阵可以分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积, 称之为 LU 分解。 LU 分解是用高斯主元消去法实现的,通常要对主元位置进行交换,主元交换的方法是将被分解矩阵左乘一个由 0-1构成的行交换阵。【调用格式】[L, U, P] = lu(X ) 对矩阵 X进行 LU 分解,并进行主元交换[L, U] = lu(X ) 对矩阵 X进行 LU 分解,无主元交换【说明】 X为被分解的矩阵, L为主对角元素为 1的下三角矩阵, U为上三角矩阵, P为行交换矩阵。 线性代数 2. 行列式和求逆矩阵的行列式和求逆可以通过 LU 分解的方法求解, Matlab 提供了相关函数。【调用格式】 d = det(X )求矩阵 X的行列式 Y = inv(X )求矩阵 X的逆矩阵例例 线性代数二、特征值和特征向量对于求解矩阵的特征值和特征向量, Matlab 提供了 eig 函数。【调用格式】 D= eig(A )计算矩阵 A的特征值, d为特征值构成的向量[V , D]= eig(A )计算矩阵 A的特征值对角阵 D和特征向量矩阵 V [V , D]= eig(A , ' nobalance ') 当矩阵 A中有与截断误差近似的数值,用本指令例例 三、奇异值分解 A可进行奇异值分解,即存在酉矩阵 U和V,使下面等式成立其中称为矩阵的奇异值。 线性代数 1 2 ( , , ..., ) T p U AV S diag ? ? ?? ? 1 2 , , ..., p ? ? ?【调用格式】 s = svd(A )求矩阵 A的奇异值, s为由奇异值构成的向量[U , S , V] = svd(A ) 矩阵 A的奇异值分解 线性代数 矩阵的奇异值可以描述矩阵的结构特征。有关矩阵结构特征的 MATLAB 函数有如下几种。 r = rank(A , tol )在指定容差 tol 下,求矩阵 A的秩。 tol 可以省略。 Z = null(A )求矩阵 A的零空间。 V = orth(A )求矩阵 A的值空间。 n = norm(A )求矩阵 A的2范数。 n = norm(A ,p) 求矩阵 A的各种范数。 c = cond(X , p) 求矩阵 A的条件数, p可以省略。 theta = subspace(A , B) 求A和B矩阵所张子空间的夹角。 B = pinv(A , tol )在指定容差 tol 下,求矩阵 A的广义逆, tol 可以省略。 线性代数四、线性方程组的解形如的线性方程组中独立方程的个数等于独立未知参数的个数称为恰定方程; 独立方程的个数大于独立未知参数的个数称为超定方程; 独立方程的个数小于独立未知参数的个数称为欠定方程。针对不同情况,可以采用以下 3种方法求解: 1. 左除运算符法对于一般的非奇异矩阵 A,可以求得唯一数值解。欠定方程和超定方程,可以获得最小二乘解。 x=A\b Ax b ? 线性代数 2. 广义逆法如果用左除运算符求解的时候出现提示矩阵 A为非奇异的警告或者解中出现 Nan ,则可以采用广义逆法。 x= pinv(A )*b 3. 符号计算法可以求得方程组的符号解,对于欠定方程可以求得具有自由变量的解。 线性代数例 求以下 3个方程组的解 4 6 3 13 2 3 4 9 5 2 3 10 x y z x y z x y z ? ????? ????? ??? 4 6 3 13 2 3 4 9 x y z x y z ? ????? ??? 4 6 13 2 3 9 5 2 10 x y x y x y ? ???? ???? ?? I: II: III:
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