【高考数学精品】外接球内切球的9大题型.doc

【高考数学专题】外接球内切球的9大类题型梳理
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．例如：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
1. 球的表面积为S=4πR2
2. 球的体积为V＝πR3
多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略
(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．
(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
(3)若球面上4点P，A，B，C构成的3条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
一．球的性质应用
已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
【解析】因为△ABC是边长为6的正三角形,所以△ABC外接圆的半径r=，
为球的直径，且，球半径R=4，
所以点O到平面ABC的距离，
SC为球O的直径,点S到平面ABC的距离为2d=4，
此棱锥的体积为，选C.
已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥
的体积为，则球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，
.
又的外接圆的半径
因此球的半径
球的表面积：，选C
已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵底面中，，，
，的外接圆半径
面，三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积，选C．
二．最值问题
已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图，设球心为，
由，，可得为直角三角形，
斜边的中点为球小圆的圆心，接，，则平面，由，可得，故三棱锥最大体积为，选．
在三棱锥中，底面，，是线段上一点，，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，
记三角形的中心为，设球的半径为，，
则球心到平面的距离为，即，
连接，则，∴.
在中，取的中点为，连接，
则，，
，，
由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，
设此时截面圆的半径为，高中数学资料共享群（群号：734924357）
则，
所以最小截面圆的面积为，
当截面过球心时，截面面积最大为，
所以，，
球的表面积为.
选C.
已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心到所在的平面的距离恰好等于半径的一半，点为球面上任意一点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设外接圆的圆心为，则平面，所以
设外接圆的半径为，，
由正弦定理可得：，解得：
由球的截面圆性质可得：，解得：
所以点到平面的距离的最大值为：.
在中，由余弦定理可得：
当且仅当时，等号成立，（群号：734924357）
所以，当且仅当时，等号成立.
当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大.
所以三棱锥的体积的最大值为
选C
三．球直径灵活应用
已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出图形，设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC
∵CO1=，
∴，∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，∴．
四．球与其它几何体的综合
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设球的半径为c