函数的单调性.doc

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函数的单调性
函数单调性的的判断方法
除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：

直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：
(1)正比例函数：
当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数.
(2)反比例函数：
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调递增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调递增区间.
(3)一次函数：
当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数.
（4）二次函数：
当时，函数的图像开口向上，单调递减区间是，单调递增区间是；当时，函数的图像开口向下，单调递增区间是，单调递减区间是.
注意：在定义域上是增函数，其图像如右图：
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画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.

（1）函数，当时有相同的单调性，当时有相反的单调性；如函数与的单调性相反，函数与的单调性相同；
（2）当函数恒为正（或恒为负）时与有相反的单调性，如：函数是递增函数，则在区间是递减函数；
（3）若，则与具有相同的单调性，如：函数，在定义域上，，且是上的递减函数，是上的递增函数，所以函数是上的递减函数，是上的递增函数；
（4）若，的单调性相同，则的单调性与，，令，即
，因为函数在上单调递减，的单调递减区间是，所以函数的单调递减区间是
；
(5)若，的单调性相反，，所以的单调性与的相同.
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二、抽象函数单调性的判定
没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.
实例1已知定义在上的函数对任意，恒有
，且当时，判断在上的单调性.
解设，则
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，，所以函数
在上的单调递减.
复合函数单调性的判定方法
求复合函数的单调性的步骤：
求出函数的定义域；
明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）: