微分方程的积分因子求解法.doc

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常微分方程的积分因子求解法
内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、 基本知识
对于形如
（）
的微分方程，如果方程的左端恰是，的一个可微函数的全微分，即= ，则称（）为全微分方程.
易知，上述全微分方程的通解为 =, （为任意常数）.
（全微分方程的判别法）设，在，平面上的单连通区域内具有连续的一阶偏导数，则（）是全微分方程的充要条件为
（）
证明见参考文献[1].
对于微分方程（），如果存在可微函数，使得方程
（）
是全微分方程，则称为微分方程（）的积分因子.
可微函数为微分方程（）的积分因子的充要条件为
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-= （）
证明：，为微分方程（）的积分因子的充要条件为
， 展开即得：
-=.
上式整理即得（）. 证毕
若，则（）和（）同解。所以，欲求（）的通解，只须求出（）的通解即可，而（）是全微分方程，故关键在于求积分因子。
为了求解积分因子，必须求解方程（）。一般来说，偏微分方程（）是不易求解的；但是，当具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法
情况1 当具有形式时，方程（）化为
=，
即 =
于是得到：
微分方程（）具有形如的积分因子的充要条件为
只是的连续函数, 不含. 此时易得, .
类似地
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微分方程（）具有形如的积分因子的充要条件为
只是的连续函数, 不含. 并且, .
求的通解.