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奥数第四讲 定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。 它的符号不同于课本 上明确定义或已经约定的符号，例如 “+ -、x、卞、>、V”等。表示运算意义的 表达式，通常是使用四则运算符号，例如 b=3a-3b,新运算使用的符号是 ☆, 而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义， 严格按照 规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的 数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质， 所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。
、例题与方法指导
例1、设ab都表示数，规定a^ b表示a的4倍减去b的3倍，即aA b=4Xa-3 >b, 试计算5A6，6A5。
解 5A6=5X4-6 X=20-18=2
6A 5=6X4-5 X=24-15=9
说明 例1定义的△没有交换律，计算中不得将 △前后的数交换。
例2、对于两个数a、b,规定a^b表示3Xa+2Xb,试计算(5^6)^7,5^( 6^7)。 思路导航：
先做括号内的运算。
解：(5^6) ☆ 7= (5X3+6X2) ☆ 7=27^ 7=27X3+7X2=95
5^ (6^7) =5^ (6X3+7X2) =5^32=5X3+32X2=79
说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。
例3、已知2A3=2X3X4，4A2=4X5, 一般地，对自然数 a、b，aAb表示
aX (a+1) X (a+b-1).
计算(6A3) - (5A2)。
思路导航:
原式=6X7--5 6
=336-30
规定：aA =a+(a+1)+(a+2)+ …+ (a+b-1),其中 a,b表示自然数。
例 4、已知3=1+2+3=6，求100 的值。已知 x△ 10=75，求 x.
思路导航：
(1) 原式=1+2+3+…+100= (1+100) 600吃=5050
(2) 原式即 x+(x+1)+(x+2)+ •••+(X+9) =75,
所以： 10X+(1+2+3■…+9)=75
10x+45=75
10x=30
x=3
例 5、定义运算：a© b=3a+5ab+kb,
其中a, b为任意两个数，k为常数。比如：2© 7=3X2+5X2X7+7k0
(1) 已知5©2=73。问：8©5与5©8的值相等吗？
(2) 当k取什么值时，对于任何不同的数a, b,都有a©b=b©a,即新运算 © 符合交换律？
分析与解：
(1) 首先应当确定新运算中的常数 k。因为5©2=3X5+5X5X2+kX2=65+2k,
所以由已知5©2=73，得65+2k=73，求得k= (73-65)吃=4。定义的新运算是： a© b=3a+5ab+4b。
8 © 5=3 68+5 >8 >5+4 65=244, 5© 8=3 >5+5 65 68+4 ><8=247。
因为244工247所以8©5工© &
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